Determine o valor de s tal que as seguintes integrais impróprias sejam convergentes: \int_{0}^{+\infty} e^{-s t} \sin (t) d t
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os valores de s (real) tais que a integral imprópria \displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-s t}\,\sin(t)\,\mathrm{d}t
seja convergente. Aqui o conteúdo é teste de convergência para integrais impróprias com fator exponencial decrescente, tipicamente usando comparação com uma integral exponencial de referência.
Passo 2
Para \,s>0, temos \bigl|e^{-s t}\sin(t)\bigr|\le e^{-s t}. Mas \displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-s t}\,\mathrm{d}t = \frac{1}{s}
é convergente sempre que s>0. Pelo teste de comparação (ou comparação absoluta), conclui-se que \displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-s t}\sin(t)\,\mathrm{d}t
converge absolutamente, logo converge, para todo s>0.
Passo 3
Se s=0, a integral vira \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \sin(t)\,\mathrm{d}t,
que não converge (é oscilante e não se anula em limite).
Passo 4
Se s<0, então e^{-s t} = e^{|s|t} cresce exponencialmente e, em módulo, \bigl|e^{-s t}\sin(t)\bigr|\ge C\,e^{|s|t}
para algum C>0 numa sequência de intervalos, e portanto a integral também diverge.