Determine o valor de s tal que as seguintes integrais impróprias sejam convergentes:
\int_{0}^{+\infty} e^{-s t} \sin (t) d t

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de s (real) tais que a integral imprópria \displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-s t}\,\sin(t)\,\mathrm{d}t
seja convergente. Aqui o conteúdo é teste de convergência para integrais impróprias com fator exponencial decrescente, tipicamente usando comparação com uma integral exponencial de referência.

Passo 2

Para \,s>0, temos \bigl|e^{-s t}\sin(t)\bigr|\le e^{-s t}. Mas \displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-s t}\,\mathrm{d}t = \frac{1}{s}
é convergente sempre que s>0. Pelo teste de comparação (ou comparação absoluta), conclui-se que \displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-s t}\sin(t)\,\mathrm{d}t
converge absolutamente, logo converge, para todo s>0.

Passo 3

Se s=0, a integral vira \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \sin(t)\,\mathrm{d}t,
que não converge (é oscilante e não se anula em limite).

Passo 4

Se s<0, então e^{-s t} = e^{|s|t} cresce exponencialmente e, em módulo, \bigl|e^{-s t}\sin(t)\bigr|\ge C\,e^{|s|t}
para algum C>0 numa sequência de intervalos, e portanto a integral também diverge.

Resposta

A integral converge apenas para
s > 0.

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