Determine o valor de
tal que as seguintes integrais impróprias sejam convergentes:
Passo 1
O enunciado pede para determinar para quais valores de
a integral imprópria
converge. O conteúdo envolvido é a análise de convergência de integrais impróprias no infinito, e usaremos teste de convergência (por exemplo, o teste de Dirichlet) e o comportamento da função nos extremos do intervalo.
Passo 2
Analisando o limite inferior
: como
temos
quando
. E
é convergente, logo não há restrição de
vinda de
.
Passo 3
Analisando o limite superior
: defina
No teste de Dirichlet para integrais, se
é limitada e
é monótona com
, então
converge. Aqui
é limitada, e
Para que
seja decrescente e tenda a zero é preciso
. Se
,
ou não é monótona decrescente, e a integral diverge.
Passo 4
Portanto a condição necessária e suficiente para a convergência de
é