Determine o valor de s tal que as seguintes integrais impróprias sejam convergentes:
\int_{0}^{+\infty} e^{-s t} \sin (t) d t

Passo 1

O enunciado pede para determinar para quais valores de s a integral imprópria
I(s)=\int_{0}^{+\infty}e^{-s t}\sin(t)\,dt
converge. O conteúdo envolvido é a análise de convergência de integrais impróprias no infinito, e usaremos teste de convergência (por exemplo, o teste de Dirichlet) e o comportamento da função nos extremos do intervalo.

Passo 2

Analisando o limite inferior t\to0^+: como
e^{-s t}\sim1 \quad\text{e}\quad \sin(t)\sim t,
temos e^{-s t}\sin(t)\sim t quando t\to0. E \int_{0}\!t\,dt é convergente, logo não há restrição de s vinda de t=0.

Passo 3

Analisando o limite superior t\to+\infty: defina
f(t)=\sin(t), \quad g(t)=e^{-s t}.
No teste de Dirichlet para integrais, se F(t)=\int_{0}^{t}f(u)\,du é limitada e g(t) é monótona com \lim_{t\to\infty}g(t)=0, então \int_{0}^{\infty}f(t)g(t)\,dt converge. Aqui
F(t)=1-\cos(t)
é limitada, e
g'(t)=-s\,e^{-s t}.
Para que g(t) seja decrescente e tenda a zero é preciso s>0. Se s\le0, g(t)\not\to0 ou não é monótona decrescente, e a integral diverge.

Passo 4

Portanto a condição necessária e suficiente para a convergência de I(s) é s>0.

Resposta

s>0

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