Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
(a) \int_{0}^{4} \frac{d x}{\sqrt{x}}
(b) \int_{0}^{1} \frac{\cos \left(x^{\frac{1}{3}}\right)}{x^{\frac{2}{3}}} d x
(c) \int_{0}^{4} \frac{d x}{\sqrt{16-x^{2}}}
(d) \int_{0}^{3} \frac{d x}{(x-1)^{2}}
(e) \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{d x}{\cos (x)}
(f) \int_{1}^{3} \frac{d x}{\sqrt{4 x-x^{2}-3}}
Passo 1
O enunciado pede para calcular seis integrais impróprias, verificando primeiro se cada uma converge e, em caso afirmativo, encontrando seu valor. Vamos lembrar que uma integral é imprópria quando o integrando fica singular em algum ponto do intervalo ou quando o intervalo é infinito. O procedimento geral é:
Identificar onde ocorre a singularidade (extremo do intervalo ou ponto interior).
Expressar a integral como limite de integrais próprias.
Encontrar uma primitiva e avaliar o limite.
Concluir convergência ou divergência.
Passo 2
Para (a) \displaystyle\int_{0}^{4}\frac{dx}{\sqrt{x}} há singularidade em x=0. Escrevemos
Não há divergência no limite t\to0, pois o integrando sobra regular. Logo converge para 3\sin(1).
Passo 4
Para (c) \displaystyle\int_{0}^{4}\frac{dx}{\sqrt{16-x^{2}}} o integrando é singular em x=4. Reconhecemos a forma da derivada inversa de arco-seno. Fazendo u=x/4, dx=4\,du, temos
Em x=\pi, \operatorname{sec}\pi+\tan\pi=-1+0=-1, \ln|{-1}|=0. Em x\to\tfrac{\pi}{2}^{+}, \cos x\to0^- faz \operatorname{sec} x+\tan x\to-\infty e \ln|\cdot|\to+\infty. Então o valor do limite não é finito e a integral diverge.
Passo 7
Para (f) \displaystyle\int_{1}^{3}\frac{dx}{\sqrt{4x-x^{2}-3}} note que
4x-x^{2}-3 = -(x^{2}-4x+3)= (x-1)(3-x).
No intervalo [1,3] isso é não negativo, e em x=1 ou 3 o radicando anula, gerando singularidades integráveis do tipo \sqrt{x-1} e \sqrt{3-x}. Fazemos a substituição centralizante u=x-2, então
x-1 = u+1,\quad 3-x = 1-u,\quad dx=du,
e os limites x=1\mapsto u=-1, x=3\mapsto u=1. A integral vira