Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
(a)
\int_{0}^{4} \frac{d x}{\sqrt{x}}
(b)
\int_{0}^{1} \frac{\cos \left(x^{\frac{1}{3}}\right)}{x^{\frac{2}{3}}} d x
(c)
\int_{0}^{4} \frac{d x}{\sqrt{16-x^{2}}}
(d)
\int_{0}^{3} \frac{d x}{(x-1)^{2}}
(e)
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{d x}{\cos (x)}
(f)
\int_{1}^{3} \frac{d x}{\sqrt{4 x-x^{2}-3}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular seis integrais impróprias, verificando primeiro se cada uma converge e, em caso afirmativo, encontrando seu valor. Vamos lembrar que uma integral é imprópria quando o integrando fica singular em algum ponto do intervalo ou quando o intervalo é infinito. O procedimento geral é:
  1. Identificar onde ocorre a singularidade (extremo do intervalo ou ponto interior).
  2. Expressar a integral como limite de integrais próprias.
  3. Encontrar uma primitiva e avaliar o limite.
  4. Concluir convergência ou divergência.

Passo 2

Para (a) \displaystyle\int_{0}^{4}\frac{dx}{\sqrt{x}} há singularidade em x=0. Escrevemos
\int_{0}^{4}x^{-\tfrac12}dx =\lim_{a\to0^+}\int_{a}^{4}x^{-\tfrac12}dx.
Uma primitiva de x^{-1/2} é
2\sqrt{x},
logo
\lim_{a\to0^+}\bigl[2\sqrt{x}\bigr]_{a}^{4} =\lim_{a\to0^+}\bigl(2\sqrt{4}-2\sqrt{a}\bigr) =4.
Portanto, a integral converge e vale 4.

Passo 3

Para (b) \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{\cos\bigl(x^{\tfrac13}\bigr)}{x^{\tfrac23}}dx há singularidade em x=0. Fazemos a substituição
t = x^{\tfrac13},\quad x = t^{3},\quad dx = 3t^{2}dt.
Então x^{2/3}=t^{2} e
\int_{0}^{1}\frac{\cos(x^{1/3})}{x^{2/3}}dx = \int_{0}^{1}\frac{\cos(t)}{t^{2}}\cdot 3t^{2}dt =3\int_{0}^{1}\cos(t)\,dt =3\bigl[\sin(t)\bigr]_{0}^{1} =3\sin(1).
Não há divergência no limite t\to0, pois o integrando sobra regular. Logo converge para 3\sin(1).

Passo 4

Para (c) \displaystyle\int_{0}^{4}\frac{dx}{\sqrt{16-x^{2}}} o integrando é singular em x=4. Reconhecemos a forma da derivada inversa de arco-seno. Fazendo u=x/4, dx=4\,du, temos
\int_{0}^{4}\frac{dx}{\sqrt{16-x^{2}}} = \int_{0}^{1}\frac{4\,du}{\sqrt{16(1-u^{2})}} = \int_{0}^{1}\frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}} =\bigl[\arcsin(u)\bigr]_{0}^{1} =\frac{\pi}{2}.
A singularidade em x=4 é do tipo (4-x)^{-1/2}, integrável, então converge para \tfrac{\pi}{2}.

Passo 5

Para (d) \displaystyle\int_{0}^{3}\frac{dx}{(x-1)^{2}} existe singularidade em x=1, ponto interior. Separamos
\int_{0}^{3}\frac{dx}{(x-1)^{2}} =\lim_{a\to1^-}\int_{0}^{a}\frac{dx}{(x-1)^{2}} +\lim_{b\to1^+}\int_{b}^{3}\frac{dx}{(x-1)^{2}}.
Uma primitiva de (x-1)^{-2} é -\tfrac{1}{x-1}. Avaliando o trecho de 0 a a<1:
\int_{0}^{a}\frac{dx}{(x-1)^{2}} =\Bigl[-\tfrac{1}{x-1}\Bigr]_{0}^{a} =-\frac{1}{a-1}+\frac{1}{-1} =\frac{-1}{a-1}-1.
Quando a\to1^-, a-1\to0^{-} e -1/(a-1)\to+\infty. Logo diverge. A integral em (d) é divergente.

Passo 6

Para (e) \displaystyle\int_{\tfrac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{dx}{\cos x} há singularidade em x=\tfrac{\pi}{2}. Usamos a primitiva de \operatorname{sec} x:
\int\operatorname{sec} x\,dx=\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr|.
Escrevemos
\int_{\tfrac{\pi}{2}}^{\pi}\operatorname{sec} x\,dx =\lim_{t\to\frac{\pi}{2}^{+}}\bigl[\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr|\bigr]_{t}^{\pi}.
Em x=\pi, \operatorname{sec}\pi+\tan\pi=-1+0=-1, \ln|{-1}|=0. Em x\to\tfrac{\pi}{2}^{+}, \cos x\to0^- faz \operatorname{sec} x+\tan x\to-\infty e \ln|\cdot|\to+\infty. Então o valor do limite não é finito e a integral diverge.

Passo 7

Para (f) \displaystyle\int_{1}^{3}\frac{dx}{\sqrt{4x-x^{2}-3}} note que
4x-x^{2}-3 = -(x^{2}-4x+3)= (x-1)(3-x).
No intervalo [1,3] isso é não negativo, e em x=1 ou 3 o radicando anula, gerando singularidades integráveis do tipo \sqrt{x-1} e \sqrt{3-x}. Fazemos a substituição centralizante u=x-2, então
x-1 = u+1,\quad 3-x = 1-u,\quad dx=du,
e os limites x=1\mapsto u=-1, x=3\mapsto u=1. A integral vira
\int_{-1}^{1}\frac{du}{\sqrt{(u+1)(1-u)}} =\int_{-1}^{1}\frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}} =\bigl[\arcsin(u)\bigr]_{-1}^{1} =\frac{\pi}{2}-\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr) =\pi.
Converge para \pi.

Resposta

(a) 4
(b) 3\sin(1)
(c) \tfrac{\pi}{2}
(d) diverge
(e) diverge
(f) \pi

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