Determine o valor de s tal que as seguintes integrais impróprias sejam convergentes:
\int_{0}^{+\infty} e^{-s t} d t

Passo 1

O enunciado pede para determinar para quais valores de s a seguinte integral imprópria converge:
\int_{0}^{+\infty} e^{-s t}\,dt.
O conteúdo envolvido é convergência de integrais impróprias, ou seja, cálculo de primitiva e análise de limite quando o intervalo de integração é infinito.

Passo 2

Vamos encontrar a primitiva de e^{-s t} em relação a t. Pela regra básica de integração de exponencial,
\int e^{-s t}\,dt = -\frac{1}{s}\,e^{-s t},
válido para s\neq 0.

Passo 3

Avaliamo-la de t=0 até t=T:
\int_{0}^{T} e^{-s t}\,dt = \left[-\frac{1}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{T} = -\frac{1}{s}e^{-sT} + \frac{1}{s}.
Agora analisamos o limite quando T\to\infty:
  • Se s>0, então \lim_{T\to\infty}e^{-sT}=0 e
    \int_{0}^{+\infty} e^{-s t}\,dt = \frac{1}{s},
    convergindo.
  • Se s<0, então \lim_{T\to\infty}e^{-sT}=+\infty e a integral diverge.
  • Se s=0, a integral torna-se \int_{0}^{+\infty}1\,dt, que diverge.

Passo 4

Concluímos que a integral imprópria converge somente no caso s>0.

Resposta

A integral \displaystyle\int_{0}^{+\infty} e^{-s t}\,dt converge se, e somente se, s>0.

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