Determine o valor de
tal que as seguintes integrais impróprias sejam convergentes:
Passo 1
O enunciado pede para determinar para quais valores de
a seguinte integral imprópria converge:
O conteúdo envolvido é convergência de integrais impróprias, ou seja, cálculo de primitiva e análise de limite quando o intervalo de integração é infinito.
Passo 2
Vamos encontrar a primitiva de
em relação a
. Pela regra básica de integração de exponencial,
válido para
.
Passo 3
Avaliamo-la de
até
:
Agora analisamos o limite quando
:
-
Se
, então e convergindo. -
Se
, então e a integral diverge. -
Se
, a integral torna-se , que diverge.
Passo 4
Concluímos que a integral imprópria converge somente no caso
.
Resposta
A integral
converge se, e somente se,
.