Exercício 1. (2.5 pontos) Uma partícula realiza um percurso fechado composto por quatro trechos retilíneos no espaço tridimensional. Ela parte da origem, segue até o ponto ( 2,1,0 ), em seguida alcança um ponto no plano z=1 cuja projeção sobre o plano x y tem coordenadas (3,3), depois alcança um ponto com mesma altura, porém com y=2 e x=1, e retorna ao ponto de partida. Durante esse trajeto, a partícula está submetida â ação de um campo de forças \vec{F}(x, y, z)=\left(z^{2}, 2 x y, 4 y^{2}\right).
(a) Determine uma equação para o plano que contém os quatro pontos especificados no enunciado.
(b) Determine o trabalho realizado no percurso.
Passo 1
O enunciado descreve uma partícula que percorre em ordem os pontos \,P_1=(0,0,0), \,P_2=(2,1,0), \,P_3=(3,3,1), \,P_4=(1,2,1) e retorna a P_1, sob o campo de forças \displaystyle \vec F(x,y,z)=\bigl(z^2,\;2xy,\;4y^2\bigr).
(a) Queremos a equação do plano que passa por esses quatro pontos.
(b) Queremos o trabalho W=\displaystyle\oint_C\vec F\cdot d\vec r desse caminho fechado.
Passo 2
Para achar o plano, basta usar três pontos não colineares, por exemplo P_1,P_2,P_3.
Formamos os vetores \vec v=P_2-P_1=(2,1,0) e \vec w=P_3-P_1=(3,3,1).
O vetor normal ao plano é
(\nabla\times\vec F)\cdot\vec n = (8y,2z,2y)\cdot\bigl(\tfrac13,-\tfrac23,1\bigr) =\tfrac{8y}{3}-\tfrac{4z}{3}+2y =\tfrac{14y}{3}-\tfrac{4}{3}\,\frac{2y-x}{3} =\frac{4x+34y}{9}.
Portanto
\oint_C\vec F\cdot d\vec r =\iint_R\frac{4x+34y}{9}\,dA =\frac{1}{9}\iint_R(4x+34y)\,dA.
Passo 5
O domínio R\subset\mathbb R^2 é o quadrilátero com vértices (0,0),(2,1),(3,3),(1,2).
Dividimos em dois triângulos: T_{1} com vértices (0,0),(2,1),(1,2) e T_{2} com vértices (2,1),(3,3),(1,2).
Em cada triângulo \displaystyle\iint_T(ax+by)\,dA=(ax_c+by_c)\,A_T, onde (x_c,y_c) é o centróide e A_T a área.
Para T_{1} temos A_{1}=\tfrac32, centróide (1,1), logo \displaystyle\iint_{T_1}(4x+34y)\,dA=1{,}5\,(4\cdot1+34\cdot1)=57.
Para T_{2} temos A_{2}=\tfrac32, centróide (2,2), logo \displaystyle\iint_{T_2}(4x+34y)\,dA=1{,}5\,(4\cdot2+34\cdot2)=114.
Somando dá \iint_R(4x+34y)\,dA=57+114=171.
Passo 6
Logo
\oint_C\vec F\cdot d\vec r =\frac{1}{9}\times171 =19.