Exercício 1. (2.5 pontos) Uma partícula realiza um percurso fechado composto por quatro trechos retilíneos no espaço tridimensional. Ela parte da origem, segue até o ponto ( 2,1,0 ), em seguida alcança um ponto no plano z=1 cuja projeção sobre o plano x y tem coordenadas (3,3), depois alcança um ponto com mesma altura, porém com y=2 e x=1, e retorna ao ponto de partida. Durante esse trajeto, a partícula está submetida â ação de um campo de forças \vec{F}(x, y, z)=\left(z^{2}, 2 x y, 4 y^{2}\right).
(a) Determine uma equação para o plano que contém os quatro pontos especificados no enunciado.
(b) Determine o trabalho realizado no percurso.

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula que percorre em ordem os pontos
\,P_1=(0,0,0), \,P_2=(2,1,0), \,P_3=(3,3,1), \,P_4=(1,2,1) e retorna a P_1, sob o campo de forças
\displaystyle \vec F(x,y,z)=\bigl(z^2,\;2xy,\;4y^2\bigr).
(a) Queremos a equação do plano que passa por esses quatro pontos.
(b) Queremos o trabalho W=\displaystyle\oint_C\vec F\cdot d\vec r desse caminho fechado.

Passo 2

Para achar o plano, basta usar três pontos não colineares, por exemplo P_1,P_2,P_3.
Formamos os vetores
\vec v=P_2-P_1=(2,1,0) e \vec w=P_3-P_1=(3,3,1).
O vetor normal ao plano é
\vec n=\vec v\times\vec w =\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 3 & 3 & 1 \end{vmatrix} =(1,\,-2,\,3).
Logo a equação do plano, usando ponto P_1, é
1\,(x-0)-2\,(y-0)+3\,(z-0)=0 \quad\Longrightarrow\quad x-2y+3z=0.

Passo 3

Verificamos se \vec F é conservativo calculando \nabla\times\vec F:
\nabla\times\vec F =\Bigl(\tfrac{\partial}{\partial y}(4y^2)-\tfrac{\partial}{\partial z}(2xy),\; \tfrac{\partial}{\partial z}(z^2)-\tfrac{\partial}{\partial x}(4y^2),\; \tfrac{\partial}{\partial x}(2xy)-\tfrac{\partial}{\partial y}(z^2)\Bigr) =(8y,\;2z,\;2y),
que não é zero em geral, logo \vec F não é conservativo. Usamos o Teorema de Stokes:
\oint_C\vec F\cdot d\vec r =\iint_S(\nabla\times\vec F)\cdot\vec n\,dS,
onde S é a superfície plana limitada pelo polígono P_1P_2P_3P_4.

Passo 4

No plano x-2y+3z=0 temos z=(2y-x)/3.
Uma parametrização sobre a projeção R no plano xy é (x,y,z(x,y)).
Então
\vec n\,dS =(-z_x,\,-z_y,\,1)\,dA =\bigl(\tfrac13,\,-\tfrac23,\,1\bigr)\,dA.
Dessa forma
(\nabla\times\vec F)\cdot\vec n = (8y,2z,2y)\cdot\bigl(\tfrac13,-\tfrac23,1\bigr) =\tfrac{8y}{3}-\tfrac{4z}{3}+2y =\tfrac{14y}{3}-\tfrac{4}{3}\,\frac{2y-x}{3} =\frac{4x+34y}{9}.
Portanto
\oint_C\vec F\cdot d\vec r =\iint_R\frac{4x+34y}{9}\,dA =\frac{1}{9}\iint_R(4x+34y)\,dA.

Passo 5

O domínio R\subset\mathbb R^2 é o quadrilátero com vértices
(0,0),(2,1),(3,3),(1,2).
Dividimos em dois triângulos:
T_{1} com vértices (0,0),(2,1),(1,2) e T_{2} com vértices (2,1),(3,3),(1,2).
Em cada triângulo \displaystyle\iint_T(ax+by)\,dA=(ax_c+by_c)\,A_T, onde (x_c,y_c) é o centróide e A_T a área.
  • Para T_{1} temos A_{1}=\tfrac32, centróide (1,1), logo
    \displaystyle\iint_{T_1}(4x+34y)\,dA=1{,}5\,(4\cdot1+34\cdot1)=57.
  • Para T_{2} temos A_{2}=\tfrac32, centróide (2,2), logo
    \displaystyle\iint_{T_2}(4x+34y)\,dA=1{,}5\,(4\cdot2+34\cdot2)=114.
    Somando dá \iint_R(4x+34y)\,dA=57+114=171.

Passo 6

Logo
\oint_C\vec F\cdot d\vec r =\frac{1}{9}\times171 =19.

Resposta

(a) A equação do plano é
x-2y+3z=0.
(b) O trabalho realizado no percurso fechado é
W=19.

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