Questão 3 Considere o PVI

\left\{\begin{array}{l} u_{t}+2 u_{x}=9 u_{x x}, \text { para todos } x \in \mathbb{R}, t>0 \\\ u(x, 0)=3 \delta(x-1), x \in \mathbb{R} \end{array}\right.
3A. (1.0pt) Obtenha a transformada de Fourier P(\cdot) de p(x)=e^{-\frac{x^{2}}{4 \rho}}, x \in \mathbb{R}, \rho>0
3B. (1.0pt) Encontre a transformada de Fourier U(\cdot, t) e a solução u(x, t) do problema enunciado acima.

Passo 1

O enunciado apresenta o PVI
\begin{cases} u_{t}+2\,u_{x}=9\,u_{xx},&x\in\mathbb{R},~t>0,\\\ u(x,0)=3\,\delta(x-1),&x\in\mathbb{R}, \end{cases}
e pede duas coisas:
(3A) a transformada de Fourier P(k) de p(x)=e^{-x^{2}/(4\rho)}, \rho>0;
(3B) a transformada de Fourier U(k,t) de u(x,t) e, finalmente, a solução u(x,t).
O método é usar a transformada de Fourier em x, resolver a EDO para U e depois inverter para obter u.

Passo 2

(3A) Calcular
P(k)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{x^{2}}{4\rho}}\,e^{-ikx}\,dx.
Escrevendo \alpha=\tfrac1{4\rho}, vale a fórmula padrão
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}e^{-ikx}dx =\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\;e^{-\frac{k^{2}}{4\alpha}}.
Substituindo \alpha=1/(4\rho) obtém-se
P(k) = \sqrt{\frac{\pi}{1/(4\rho)}}\;e^{-\,\frac{k^{2}}{4\,(1/(4\rho))}} =2\sqrt{\pi\,\rho}\;e^{-\rho\,k^{2}}.

Passo 3

(3B) Definimos a transformada de Fourier em x por
U(k,t)=\int_{-\infty}^{\infty}u(x,t)\,e^{-ikx}\,dx.
Aplicando em cada termo do PDE:
\partial_{t}u\mapsto\partial_{t}U,
u_{x}\mapsto i k\,U,
u_{xx}\mapsto -k^{2}\,U.
Logo a EDO em k é
\partial_{t}U(k,t)+2\,(i k)\,U(k,t)=9\,(-k^{2})\,U(k,t),
ou seja
\partial_{t}U(k,t)=-\bigl(2\,i k+9\,k^{2}\bigr)\,U(k,t).

Passo 4

A condição inicial na transformada é
U(k,0) =\int_{-\infty}^{\infty}3\,\delta(x-1)\,e^{-ikx}dx =3\,e^{-ik\cdot1}=3\,e^{-ik}.
Resolvendo a EDO linear
\partial_{t}U= -\bigl(2\,i k+9\,k^{2}\bigr)U,
temos
U(k,t) =U(k,0)\,\exp\bigl[-(2\,i k+9\,k^{2})\,t\bigr] =3\,e^{-ik}\,e^{-2\,i k\,t}\,e^{-9\,k^{2}t}.

Passo 5

Agora fazemos a transformada inversa em k:
u(x,t) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} U(k,t)\,e^{ikx}\,dk =\frac{3}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-9tk^{2}}\, e^{ik(x-1-2t)}\,dk.
Reconhecemos a integral gaussiana
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a k^{2}}e^{iL k}dk =\sqrt{\frac{\pi}{a}}\;e^{-\frac{L^{2}}{4a}},
com a=9t e L=x-1-2t.

Passo 6

Aplicando a fórmula obtemos
u(x,t) =\frac{3}{2\pi}\;\sqrt{\frac{\pi}{9t}}\; \exp\!\Bigl[-\frac{(x-1-2t)^{2}}{36t}\Bigr] =\frac{1}{2\sqrt{\pi t}}\, \exp\!\Bigl[-\frac{(x-1-2t)^{2}}{36t}\Bigr].

Resposta

(3A)
P(k)=2\sqrt{\pi\,\rho}\;e^{-\rho\,k^{2}}.
(3B)
U(k,t)=3\,e^{-ik}\,e^{-(2\,i k+9\,k^{2})t}, \qquad u(x,t)=\frac{1}{2\sqrt{\pi t}} \exp\!\Bigl[-\frac{(x-1-2t)^{2}}{36t}\Bigr].

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