Questão 3 Considere o PVI
3A. (1.0pt) Obtenha a transformada de Fourier
de
3B. (1.0pt) Encontre a transformada de Fourier
e a solução
do problema enunciado acima.
3B. (1.0pt) Encontre a transformada de Fourier
Passo 1
O enunciado apresenta o PVI
e pede duas coisas:
(3A) a transformada de Fourier de
,
;
(3B) a transformada de Fourier de
e, finalmente, a solução
.
O método é usar a transformada de Fourier em , resolver a EDO para
e depois inverter para obter
.
(3A) a transformada de Fourier
(3B) a transformada de Fourier
O método é usar a transformada de Fourier em
Passo 2
(3A) Calcular
Escrevendo
, vale a fórmula padrão
Substituindo
obtém-se
Passo 3
(3B) Definimos a transformada de Fourier em
por
Aplicando em cada termo do PDE:
,
,
.
Logo a EDO em é
Logo a EDO em
ou seja
Passo 4
A condição inicial na transformada é
Resolvendo a EDO linear
temos
Passo 5
Agora fazemos a transformada inversa em
:
Reconhecemos a integral gaussiana
com
e
.
Passo 6
Aplicando a fórmula obtemos
Resposta
(3A)
(3B)