Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
(a) \int_{1}^{+\infty} \frac{d x}{x \sqrt{x}}
(b) \int_{3}^{+\infty} \frac{d x}{x^{2}+9}
(c) \int_{0}^{+\infty} \frac{d x}{(x+1)(x+2)}
(d) \int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{2}} d x
(e) \int_{-\infty}^{0}|x| e^{-x^{2}} d x
(f) \int_{2}^{+\infty} \frac{d x}{x \ln (x)}
(g) \int_{0}^{+\infty} \frac{\operatorname{cosh} (x)}{1+\operatorname{sinh} (x)} d x
(h) \int_{-\infty}^{0} x 5^{-x^{2}} d x
(i) \int_{-\infty}^{0} x \operatorname{cosh} (x) d x
(j) \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln (x)}{x} d x
(k) \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d x}{x^{2}+1}
(l) \int_{0}^{+\infty} \sin (t \pi) e^{-t} d t
(m) \int_{0}^{1} \frac{d x}{(2 x-3)^{2}}
(n) \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{x^{2}+1} d x
(o) \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d x}{x^{2}+2 x+5}
§ \int_{1}^{+\infty} \frac{d x}{x^{3}+x}
Passo 1
Temos uma lista de integrais impróprias que envolvem limites infinitos ou singularidades. O conteúdo principal é testar a convergência e, quando convergente, calcular o valor exato usando técnicas como mudança de variável, frações parciais, propriedades de funções pares/ímpares e resultados conhecidos de integrais de funções elementares e transformada de Laplace.
Passo 2
(a) \displaystyle \int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x\sqrt{x}}. Note que \frac1{x\sqrt{x}}=x^{-3/2}.
Fazendo a antiderivada:
Quando R\to\infty, \tfrac{R+1}{R+2}\to1 e \ln1=0. Então o valor é
0 - \bigl(-\ln2\bigr)=\ln2.
Passo 5
(d) \displaystyle \int_{0}^{+\infty}x\,e^{-x^{2}}dx. Fazemos u=x^{2}, du=2x\,dx, logo x\,dx=\tfrac{du}{2}. Quando x vai de 0 a \infty, u vai de 0 a \infty. Então
Fazemos u=x^{2}, du=2x\,dx ou trocamos t=-x. Resultado final é igual ao do item (d), pois vira \int_{0}^{\infty}t e^{-t^{2}}dt. Portanto o valor é \tfrac12.
Passo 7
(f) \displaystyle \int_{2}^{+\infty}\frac{dx}{x\ln x}. Use u=\ln x, du=dx/x. O integral vira
\int_{\ln2}^{\infty}\frac{du}{u},
que diverge (logaritmo não tem limite finito quando u\to\infty). Logo a integral diverge.
Passo 8
(g) \displaystyle \int_{0}^{+\infty}\frac{\operatorname{cosh} x}{1+\operatorname{sinh} x}dx. Fazemos u=\operatorname{sinh} x, du=\operatorname{cosh} x\,dx. Os limites vão de u(0)=0 a u(\infty)=\infty, e fica
(i) \displaystyle \int_{-\infty}^{0}x\,\operatorname{cosh} x\,dx. A função x\operatorname{cosh} x para x\to-\infty cresce em módulo como e^{-|x|} vezes |x|? Na verdade \operatorname{cosh} x\sim e^{-|x|}/2, então x\operatorname{cosh} x\sim -\tfrac12|x|e^{-|x|}, mas mesmo assim a integral de |x|e^{-|x|} de 0 a \infty converge. Especificamente, trocando x=-t, obtém-se \int_{0}^{\infty}t e^{-t}dt=1. Portanto a integral em x converge e dá -1.
Passo 11
(j) \displaystyle \int_{1}^{+\infty}\frac{\ln x}{x}dx. Fazendo u=\ln x, du=dx/x, vira \int_{0}^{\infty}u\,du, que diverge. Logo diverge.
Passo 12
(k) \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^{2}+1}. Sabe-se que
(n) \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x}{x^{2}+1}dx. O integrando é função ímpar e os limites são simétricos, logo a integral vale 0.
Passo 16
(o) \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^{2}+2x+5}. Completamos quadrado: x^{2}+2x+5=(x+1)^{2}+2^{2}. Fazemos u=x+1, e a integral torna-se