• Questão 1. Considere o PVI \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=t e^{-t}-\delta(t), \quad t>0 \\\ y(0)=1, y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.
1A.(1.0pt) Obtenha a transformada de Laplace Y(\cdot) da solução y(t) do PVI.
1B. (1.5pt) Obtenha a solução y(t) usando o resultado do ítem (A).

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'' + 2y' + y = t e^{-t} - \delta(t),\quad t>0,
com condições y(0)=1, y'(0)=0. O método aqui é aplicar a transformada de Laplace, usando as fórmulas
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),\quad \mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0),
além de \mathcal{L}\{t e^{-t}\}=1/(s+1)^2 e \mathcal{L}\{\delta(t)\}=1.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados:
\mathcal{L}\{y''\}+2\mathcal{L}\{y'\}+\mathcal{L}\{y\} =\mathcal{L}\{t e^{-t}\}-\mathcal{L}\{\delta(t)\}.
Substituindo os termos iniciais,
(s^2Y - s\cdot1 - 0) + 2\bigl(sY - 1\bigr) + Y =\frac{1}{(s+1)^2} - 1.

Passo 3

Agrupando os termos em Y(s):
(s^2 + 2s + 1)\,Y(s) - (s + 2) =\frac{1}{(s+1)^2} - 1.
Como s^2+2s+1=(s+1)^2, segue
(s+1)^2 Y(s) =\frac{1}{(s+1)^2} -1 + (s+2) =\frac{1}{(s+1)^2} + (s+1).
Logo
Y(s) =\frac{1}{(s+1)^4} + \frac{1}{s+1}.

Passo 4

Para inverter a transformada usamos
\mathcal{L}^{-1}\{1/(s+1)\}=e^{-t}
e
\mathcal{L}^{-1}\{1/(s+1)^4\}=t^3/6\,e^{-t}.
Assim, para t>0,
y(t) = e^{-t} + \frac{t^3}{6}\,e^{-t}.

Resposta

(A) \displaystyle Y(s)=\frac{1}{(s+1)^4}+\frac{1}{s+1}.
(B) \displaystyle y(t)=e^{-t}+\frac{t^3}{6}\,e^{-t}.

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