Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias:
4 y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
4\,y''' + y'' = 0.
O método que vamos usar é escrever a equação característica associada, encontrar suas raízes (incluindo multiplicidade) e montar a solução geral a partir delas.

Passo 2

Para obter a equação característica, substituímos y por e^{r x}, o que leva a
4\,r^3 + r^2 = 0.
Esse polinômio em r determina as raízes que definem as soluções elementares.

Passo 3

Fatorando a equação característica temos
r^2\,(4r + 1) = 0.
Dessa forma, as raízes são
r_1 = 0 \quad(\text{multiplicidade 2}),\qquad r_2 = -\tfrac{1}{4}\quad(\text{multiplicidade 1}).

Passo 4

Quando uma raiz r=0 aparece com multiplicidade 2, as soluções associadas são e^{0x}=1 e x\,e^{0x}=x. Para a raiz simples r=-\tfrac14, a solução associada é e^{-x/4}. Assim, a solução geral é a combinação linear dessas soluções:
y(x) = C_{1} \cdot 1 \;+\; C_{2}\,x \;+\; C_{3}\,e^{-x/4},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = C_{1} + C_{2}\,x + C_{3}\,e^{-x/4}.

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