Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
O método que vamos usar é escrever a equação característica associada, encontrar suas raízes (incluindo multiplicidade) e montar a solução geral a partir delas.
Passo 2
Para obter a equação característica, substituímos
por
, o que leva a
Esse polinômio em
determina as raízes que definem as soluções elementares.
Passo 3
Fatorando a equação característica temos
Dessa forma, as raízes são
Passo 4
Quando uma raiz
aparece com multiplicidade 2, as soluções associadas são
e
. Para a raiz simples
, a solução associada é
. Assim, a solução geral é a combinação linear dessas soluções:
onde
são constantes arbitrárias.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é