Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias:
2 y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
2\,y'' - 3\,y' + y = 0.
O conteúdo envolvido é resolução de equações diferenciais homogêneas usando a equação característica.

Passo 2

Para resolver uma equação desse tipo, escrevemos a equação característica associada trocando y por e^{r x}, y' por r e^{r x} e y'' por r^2 e^{r x}. Assim obtemos
2\,r^2 - 3\,r + 1 = 0.

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática
2\,r^2 - 3\,r + 1 = 0
usamos a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
\Delta = (-3)^2 - 4\cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1.
Logo as raízes são
r = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2\cdot 2} = \frac{3 \pm 1}{4},
isto é,
r_1 = 1, \quad r_2 = \tfrac12.

Passo 4

Como as raízes r_1 e r_2 são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = C_1\,e^{r_1 x} + C_2\,e^{r_2 x} = C_1\,e^{x} + C_2\,e^{\tfrac12 x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias a determinar pelas condições iniciais.

Resposta

y(x) = C_1\,e^{x} + C_2\,e^{\tfrac12 x}.

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