Calcule as seguintes integrais impróprias
i)
.
i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral imprópria
. Isso está relacionado ao cálculo de integrais que vão até o infinito, usando técnicas de cálculo integral como integração por partes ou reconhecimento de funções conhecidas. Vamos precisar entender como integrar expressões do tipo
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que para integrais que vão até o infinito, a gente precisa garantir que a função vá para zero quando
tende ao infinito para que a integral exista. No nosso caso,
tende a zero quando
vai para o infinito, então estamos tranquilos.
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral
. Podemos simplificar tirando o 2 para fora da integral:
A gente sabe que a integral
é igual a
, onde
é uma constante positiva. Neste caso,
.
Passo 4
Aplicando a regra que mencionamos:
Passo 5
Fazendo a conta final:
Resposta
O valor da integral é
.