Calcule as seguintes integrais impróprias
i) integral0^+infty 2 x e^-3 x d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral imprópria integral0^+infty 2x e^-3x , dx. Isso está relacionado ao cálculo de integrais que vão até o infinito, usando técnicas de cálculo integral como integração por partes ou reconhecimento de funções conhecidas. Vamos precisar entender como integrar expressões do tipo x e^-ax.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que para integrais que vão até o infinito, a gente precisa garantir que a função vá para zero quando x tende ao infinito para que a integral exista. No nosso caso, e^-3x tende a zero quando x vai para o infinito, então estamos tranquilos.

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral integral0^+infty 2x e^-3x , dx. Podemos simplificar tirando o 2 para fora da integral:
2 integral0^+infty x e^-3x , dx
A gente sabe que a integral integral0^+infty x e^-ax , dx é igual a 1a^2, onde a é uma constante positiva. Neste caso, a = 3.

Passo 4

Aplicando a regra que mencionamos:
2 integral0^+infty x e^-3x , dx = 2 ( 13^2 ) = 2 ( 19 )

Passo 5

Fazendo a conta final:
2 ( 19 ) = 29

Resposta

O valor da integral é 29.

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