Calcule as seguintes integrais impróprias
f) integral1^+infty x^2(x^3+2)^2 d x,

Passo 1

E aí! Vamos resolver essa integral imprópria que você me passou:
integral1^+infty x^2(x^3+2)^2 , dx
Aqui, estamos lidando com integrais impróprias, que são aquelas onde os limites de integração envolvem o infinito ou onde a função não é definida em algum ponto do intervalo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre substituição e testes de convergência para integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Observamos que o denominador tem u = x^3 + 2 , então vamos definir:
du = 3x^2 , dx Rightarrow x^2 , dx = du3
Agora, derivamos em relação a :

Passo 3

Substituindo integralx=1^x=+infty x^2(x^3+2)^2 , dx = integralu=1^3+2^u=+infty^3+2 du3u^2 = 13 integralu=3^u=+infty u^-2 , du e na integral original:

Passo 4

Agora, resolvemos a integral de 13 integral3^+infty u^-2 , du = 13 [ -u^-1 ]3^+infty :

Passo 5

Avaliar os limites:
Para - 1u to 0 :
- 13
Para 13 ( 0 - (-13) ) = 13 ( 13 ) = 19 :
Então:

Resposta

A integral imprópria converge e o valor dela é:
19

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