Faça a substituição para expressar o integrando como uma função racional e então avalie a integral.
b) ,
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. A gente tem que resolver a integral usando uma substituição que transforme o integrando em uma função racional. Isso envolve conhecimento de cálculo integral, especificamente em técnicas de substituição para simplificar integrais.
Passo 2
Vamos começar fazendo uma substituição para simplificar a expressão. Vamos deixar . Assim, ao quadrado, temos .
Passo 3
Agora, precisamos achar em termos de . Derivando ambos os lados de , temos:
Passo 4
Substituímos e na integral original:
Passo 5
Vamos simplificar o integrando:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, resolvemos cada integral separadamente. A primeira é simples:
Para a segunda integral, reconhecemos que é uma diferença de quadrados:
Multiplicando por 8:
Passo 7
Juntando todas as partes, temos:
2t + 2 ln|t - 2t + 2| + C
Agora, substituímos 2raizx + 2 ln|raizx - 2raizx + 2| + C de volta para :
Resposta
A integral 2raizx + 2 ln|raizx - 2raizx + 2| + C é igual a: