Faça a substituição para expressar o integrando como uma função racional e então avalie a integral.
b) integral raizxx-4 d x,

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. A gente tem que resolver a integral usando uma substituição que transforme o integrando em uma função racional. Isso envolve conhecimento de cálculo integral, especificamente em técnicas de substituição para simplificar integrais.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição para simplificar a expressão. Vamos deixar . Assim, ao quadrado, temos .

Passo 3

Agora, precisamos achar dxdt = 2t implies dx = 2t , dt em termos de . Derivando ambos os lados de , temos:

Passo 4

Substituímos integral raizxx-4 , dx = integral tt^2 - 4 cdot 2t , dt = 2 integral t^2t^2 - 4 , dt e na integral original:

Passo 5

Vamos simplificar o integrando:
t^2t^2 - 4 = 1 + 4t^2 - 4
Então, a integral fica:
2 integral (1 + 4t^2 - 4) , dt = 2 integral 1 , dt + 8 integral 1t^2 - 4 , dt

Passo 6

Agora, resolvemos cada integral separadamente. A primeira é simples:
2 integral 1 , dt = 2t
Para a segunda integral, reconhecemos que integral 1t^2 - 4 , dt = 14 ln|t - 2t + 2| + C é uma diferença de quadrados:
8 cdot 14 ln|t - 2t + 2| = 2 ln|t - 2t + 2|
Multiplicando por 8:

Passo 7

Juntando todas as partes, temos:
2t + 2 ln|t - 2t + 2| + C
Agora, substituímos 2raizx + 2 ln|raizx - 2raizx + 2| + C de volta para :

Resposta

A integral 2raizx + 2 ln|raizx - 2raizx + 2| + C é igual a:

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