Utilize a Regra da Cadeia para determinar partial zpartial s e partial zpartial t.
(b) z=arctan (2 x+y), x=s^2 t, y=s ln t

Passo 1

Beleza! O exercício pede para usarmos a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Vamos trabalhar com funções compostas, onde depende de e , que por sua vez dependem de e . Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que temos:
z = arctan(2x + y)
x = s^2 t
y = s ln t
Aqui, é uma função de e , que são funções de e .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de partial zpartial x = 11 + (2x + y)^2 cdot 2 em relação a partial zpartial y = 11 + (2x + y)^2 cdot 1 e . Isso é necessário para aplicar a Regra da Cadeia.
A derivada de em relação a é:
E a derivada de em relação a é:
Isso porque a derivada de em relação a é , e aplicamos a Regra da Cadeia multiplicando pela derivada interna.

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar as derivadas parciais de partial xpartial s = 2s t e partial xpartial t = s^2 em relação a partial ypartial s = ln t e partial ypartial t = st :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, aplicando a Regra da Cadeia, temos:
partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s
partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t
Substituindo os valores que já encontramos:
Para partial zpartial s = 21 + (2x + y)^2 cdot 2s t + 11 + (2x + y)^2 cdot ln t :
partial zpartial s = 4s t1 + (2x + y)^2 + ln t1 + (2x + y)^2
Simplificando:
partial zpartial t = 21 + (2x + y)^2 cdot s^2 + 11 + (2x + y)^2 cdot st
Para partial zpartial t = 2s^21 + (2x + y)^2 + st cdot (1 + (2x + y)^2) :
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial s = 4s t + ln t1 + (2x + y)^2
partial zpartial t = 2s^2 + st1 + (2x + y)^2

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