circ Para cada uma das seguintes funções achar partial fpartial x e partial fpartial y.
d) f(x, y)=x e^x y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar as derivadas parciais de em relação a e . A matéria que estamos usando aqui é cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções que envolvem exponenciais e produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de u' = ddx (x) = 1 em relação a v' = ddx ( e^xy ) = e^xy cdot ddx (xy) = e^xy cdot y , ou seja, partial fpartial x = u' cdot v + u cdot v' = 1 cdot e^xy + x cdot e^xy cdot y = e^xy (1 + xy) . Para isso, tratamos como uma constante e derivamos em relação a .
A função é . Aqui, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Então, seja e .
Primeiro, derivamos em relação a :
Agora, derivamos em relação a . Como , usamos a regra da cadeia:
Aplicando a regra do produto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de partial fpartial y = x cdot ddy ( e^xy ) = x cdot e^xy cdot ddy (xy) = x cdot e^xy cdot x = x^2 e^xy em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos como uma constante e derivamos em relação a .
A função é . Novamente, usamos a regra da cadeia para derivar a exponencial.
Derivando em relação a :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x = e^xy (1 + xy) e partial fpartial y = x^2 e^xy

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