Calcule as seguintes integrais impróprias:
\iint_{x{2}+y{2}
leq 1} \frac{d x d y}{\sqrt{1-x{2}-y{2}}}
\iint_{x{2}+y{2}
leq 1} \frac{d x d y}{\sqrt{1-x{2}-y{2}}}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria sobre o disco unidade
Informações dadas e o que é pedido:
- Região de integração: o disco
. - Integrando:
, que é singular quando (na fronteira do disco). Por isso a integral é imprópria e precisa ser tratada como limite. - Objetivo: calcular o valor numérico da integral (mostrar que converge e achar seu valor).
Passo 2
Motivação para usar coordenadas polares (explicação didática).
- O disco
é naturalmente descrito em coordenadas polares por
com
e
.
- Ao fazer a mudança de variáveis para coordenadas polares, o elemento de área
transforma-se em . Isso vem da regra do jacobiano: a área de um pequeno retângulo em tem área aproximada . - Em polares, a expressão
fica . Portanto a integranda simplifica bastante.
Passo 3
Troca para coordenadas polares e escrita da integral.
- Substituindo
, e , obtemos
- Observação sobre a impropriedade: a singularidade aparece quando
porque . Tratar-se-á essa singularidade via limite ao calcular a integral em .
Passo 4
Cálculo da integral interna em
(aula sobre substituição).
- Vamos calcular a integral imprópria em
:
- Fazer a substituição natural
. Então , ou seja . - Quando
temos . Quando temos . - Substituindo:
(Aqui invertiu-se os limites e removeu-se o sinal negativo.)
- Agora integrar
: uma primitiva é . Assim
- Conclusão: a integral em
converge e vale .
Passo 5
Integração em
e conclusão final.
- Agora que a integral interna deu
, a integral completa é
- Comentário sobre convergência: a singularidade na fronteira foi integrável; o cálculo direto mostrou que a contribuição radial é finita (igual a
), portanto a integral imprópria converge.