Calcule as seguintes integrais impróprias:
\iint_{x{2}+y{2}
leq 1} \frac{d x d y}{\sqrt{1-x{2}-y{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria sobre o disco unidade
I=\iint_{x^{2}+y^{2}\leq 1}\frac{dx\,dy}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Região de integração: o disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\}.
  • Integrando: \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}, que é singular quando x^{2}+y^{2}\to 1 (na fronteira do disco). Por isso a integral é imprópria e precisa ser tratada como limite.
  • Objetivo: calcular o valor numérico da integral (mostrar que converge e achar seu valor).

Passo 2

Motivação para usar coordenadas polares (explicação didática).
  • O disco x^{2}+y^{2}\leq 1 é naturalmente descrito em coordenadas polares por
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
com 0\leq r\leq 1 e 0\leq \theta\leq 2\pi.
  • Ao fazer a mudança de variáveis para coordenadas polares, o elemento de área dx\,dy transforma-se em r\,dr\,d\theta. Isso vem da regra do jacobiano: a área de um pequeno retângulo em (r,\theta) tem área aproximada r\,\Delta r\,\Delta\theta.
  • Em polares, a expressão 1-x^{2}-y^{2} fica 1-r^{2}. Portanto a integranda simplifica bastante.

Passo 3

Troca para coordenadas polares e escrita da integral.
  • Substituindo x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e dx\,dy=r\,dr\,d\theta, obtemos
I=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\frac{r}{\sqrt{1-r^{2}}}\,dr\,d\theta.
  • Observação sobre a impropriedade: a singularidade aparece quando r\to 1^{-} porque \sqrt{1-r^{2}}\to 0. Tratar-se-á essa singularidade via limite ao calcular a integral em r.

Passo 4

Cálculo da integral interna em r (aula sobre substituição).
  • Vamos calcular a integral imprópria em r:
\int_{0}^{1}\frac{r}{\sqrt{1-r^{2}}}\,dr.
  • Fazer a substituição natural u=1-r^{2}. Então du=-2r\,dr, ou seja r\,dr=-\tfrac{1}{2}\,du.
  • Quando r=0 temos u=1. Quando r\to 1^{-} temos u\to 0^{+}.
  • Substituindo:
\int_{0}^{1}\frac{r}{\sqrt{1-r^{2}}}\,dr = \int_{u=1}^{u=0}\frac{-\tfrac{1}{2}\,du}{\sqrt{u}} = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}u^{-1/2}\,du.
(Aqui invertiu-se os limites e removeu-se o sinal negativo.)
  • Agora integrar u^{-1/2}: uma primitiva é 2u^{1/2}. Assim
\frac{1}{2}\int_{0}^{1}u^{-1/2}\,du=\frac{1}{2}\big[2u^{1/2}\big]_{0}^{1}=\big[u^{1/2}\big]_{0}^{1}=1-0=1.
  • Conclusão: a integral em r converge e vale 1.

Passo 5

Integração em \theta e conclusão final.
  • Agora que a integral interna deu 1, a integral completa é
I=\int_{0}^{2\pi} 1 \,d\theta = \big[\theta\big]_{0}^{2\pi}=2\pi.
  • Comentário sobre convergência: a singularidade na fronteira foi integrável; o cálculo direto mostrou que a contribuição radial é finita (igual a 1), portanto a integral imprópria converge.

Resposta

2\pi

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