Calcule as seguintes integrais impróprias:
\iint_{x{2}+y{2}
leq 1} \ln \left(\sqrt{x{2}+y{2}}\right) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria sobre o disco unitário
\iint_{x^{2}+y^{2}\leq 1} \ln\!\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\,dx\,dy.
Informações relevantes dadas:
  • A região de integração é o disco de raio 1: \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\}.
  • A função a ser integrada é \ln\!\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right).
  • Observe-se que no ponto (0,0) a função tem singularidade (porque \ln 0 não está definida), logo a integral é imprópria e precisa ser entendida como um limite apropriado.

Passo 2

Mudança de coordenadas conveniente (explicação didática).
É natural usar coordenadas polares para integrar sobre um disco porque as coordenadas polares adaptam-se bem à simetria radial. Em coordenadas polares:
  • x = r\cos\theta, y = r\sin\theta.
  • O elemento de área transforma-se como dx\,dy = r\,dr\,d\theta (este r é o jacobiano da transformação; é a área de um anel de raio r e espessura dr).
  • A distância ao origem é \sqrt{x^{2}+y^{2}} = r.
Aplicando isso à função do integrando, obtemos
\ln\!\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)=\ln(r).
A região x^{2}+y^{2}\leq 1 corresponde a 0\leq r\leq 1 e 0\leq\theta\leq 2\pi.

Passo 3

Escrever a integral em polares e tratar a impropriedade.
A integral passa a ser
\iint_{x^{2}+y^{2}\leq 1} \ln\!\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\,dx\,dy = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \ln(r)\, r\,dr\,d\theta.
Como \ln(r) é singular em r=0, interpretamos a integral radial como um limite:
\int_{0}^{1} r\ln(r)\,dr \stackrel{\text{def}}{=} \lim_{\varepsilon\to 0^{+}}\int_{\varepsilon}^{1} r\ln(r)\,dr.

Passo 4

Cálculo da integral radial por partes (desenvolvimento passo a passo).
Para calcular \int r\ln(r)\,dr aplicamos integração por partes. Escolhemos:
  • u=\ln(r) assim du=\dfrac{dr}{r}.
  • dv=r\,dr assim v=\dfrac{r^{2}}{2}.
A fórmula de integração por partes é \int u\,dv = u v - \int v\,du. Assim,
\int r\ln(r)\,dr = \frac{r^{2}}{2}\ln(r) - \int \frac{r^{2}}{2}\cdot\frac{1}{r}\,dr = \frac{r^{2}}{2}\ln(r) - \int \frac{r}{2}\,dr.
Integrando o termo restante,
\int r\ln(r)\,dr = \frac{r^{2}}{2}\ln(r) - \frac{r^{2}}{4} + C.

Passo 5

Avaliar o integral definido como limite.
Agora avaliamos a integral imprópria usando a primitiva encontrada:
\int_{\varepsilon}^{1} r\ln(r)\,dr = \left[\frac{r^{2}}{2}\ln(r) - \frac{r^{2}}{4}\right]_{r=\varepsilon}^{r=1}.
Avaliação em r=1:
\frac{1^{2}}{2}\ln(1) - \frac{1^{2}}{4} = 0 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}.
Avaliação no limite r=\varepsilon quando \varepsilon\to 0^{+}:
é preciso verificar \displaystyle\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}\frac{\varepsilon^{2}}{2}\ln(\varepsilon). Usando a substituição \varepsilon=e^{-t} com t\to+\infty
\frac{\varepsilon^{2}}{2}\ln(\varepsilon) = \frac{1}{2} e^{-2t}(-t) = -\frac{t}{2}e^{-2t}\xrightarrow[t\to\infty]{}0.
Logo \displaystyle\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}\frac{\varepsilon^{2}}{2}\ln(\varepsilon)=0 e também \displaystyle\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}\frac{\varepsilon^{2}}{4}=0. Portanto a contribuição do limite inferior é 0.
Assim
\int_{0}^{1} r\ln(r)\,dr = -\frac{1}{4}.

Passo 6

Concluir a integral dupla integrando em \theta.
Voltando à integral completa,
\int_{0}^{2\pi}\left(\int_{0}^{1} r\ln(r)\,dr\right)d\theta = \int_{0}^{2\pi}\left(-\frac{1}{4}\right)d\theta = -\frac{1}{4}\cdot (2\pi) = -\frac{\pi}{2}.
Portanto a integral converge e vale -\dfrac{\pi}{2}.

Resposta

-\dfrac{\pi}{2}

Exercícios relacionados