A região de integração é o disco de raio 1: \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\}.
A função a ser integrada é \ln\!\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right).
Observe-se que no ponto (0,0) a função tem singularidade (porque \ln 0 não está definida), logo a integral é imprópria e precisa ser entendida como um limite apropriado.
Passo 2
Mudança de coordenadas conveniente (explicação didática).
É natural usar coordenadas polares para integrar sobre um disco porque as coordenadas polares adaptam-se bem à simetria radial. Em coordenadas polares:
x = r\cos\theta, y = r\sin\theta.
O elemento de área transforma-se como dx\,dy = r\,dr\,d\theta (este r é o jacobiano da transformação; é a área de um anel de raio r e espessura dr).
A distância ao origem é \sqrt{x^{2}+y^{2}} = r.
Aplicando isso à função do integrando, obtemos
\ln\!\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)=\ln(r).
A região x^{2}+y^{2}\leq 1 corresponde a 0\leq r\leq 1 e 0\leq\theta\leq 2\pi.
Passo 3
Escrever a integral em polares e tratar a impropriedade.
A integral passa a ser
Avaliação no limite r=\varepsilon quando \varepsilon\to 0^{+}:
é preciso verificar \displaystyle\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}\frac{\varepsilon^{2}}{2}\ln(\varepsilon). Usando a substituição \varepsilon=e^{-t} com t\to+\infty dá
Logo \displaystyle\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}\frac{\varepsilon^{2}}{2}\ln(\varepsilon)=0 e também \displaystyle\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}\frac{\varepsilon^{2}}{4}=0. Portanto a contribuição do limite inferior é 0.
Assim
\int_{0}^{1} r\ln(r)\,dr = -\frac{1}{4}.
Passo 6
Concluir a integral dupla integrando em \theta.
Voltando à integral completa,