4^{\underline{a}} Questão (2,5 pts) Calcule a integral
\iiint_{\mathcal{E}} z d V \quad \text { onde } \mathcal{E} \text { é o elipsóide sólido } \frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(y-1)^{2}}{9}+(z-1)^{2} \leq 1
Sugestão: Faça a translação X=x-1, Y=y-1, Z=z-1, em seguida transforme o elipsóide em uma esfera usando a substituição u=\frac{X}{2}, v=\frac{Y}{3}, w=Z e, por último, transforme a esfera em um paralelepípedo, usando coordenadas esféricas.
R. A translação sugerida leva o elipsóide \mathcal{E} para a origem e não interfere no elemento de volume, ou seja d V=d x d y d z=d X d Y d Z. A equação no sistema transladado é
A substituição u=\frac{X}{2}, v=\frac{Y}{3}, w=Z transforma o elipsóide E na esfera
\mathcal{E}^{\prime}: u^{2}+v^{2}+w^{2} \leq 1
e d V=d x d y d z=d X d Y d Z=6 d u d v d w. Usando coordenadadas esféricas no sistema uvw temos
\begin{aligned} u & =\rho \operatorname{sen} \varphi \cos \theta \\\ v & =\rho \operatorname{sen} \varphi \operatorname{sen} \theta \quad \operatorname{com} d u d v d w=\rho^{2} \operatorname{sen} \varphi d \rho d \theta d \varphi \\\ w & =\rho \cos \varphi \end{aligned}
que transforma a esfera \mathcal{E}^{\prime} no paralelepípedo
O conteúdo envolve mudança de variáveis: primeiro translação, depois escala para obter uma esfera unitária e, por fim, coordenadas esféricas para avaliar o integral.
Passo 2
Fazendo a translação para o centro em (1,1,1):
X = x-1,\quad Y = y-1,\quad Z = z-1.
Nesse novo sistema z = Z+1 e a região vira
E:\;\frac{X^{2}}{4}+\frac{Y^{2}}{9}+Z^{2}\le1.
Como a translação não altera o elemento de volume,
dV = dx\,dy\,dz = dX\,dY\,dZ.
Passo 3
Escalando para transformar o elipsóide em esfera unitária, defina
u = \frac{X}{2},\quad v = \frac{Y}{3},\quad w = Z.