4^{\underline{a}} Questão (2,5 pts) Calcule a integral
\iiint_{\mathcal{E}} z d V \quad \text { onde } \mathcal{E} \text { é o elipsóide sólido } \frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(y-1)^{2}}{9}+(z-1)^{2} \leq 1éóó
Sugestão: Faça a translação X=x-1, Y=y-1, Z=z-1, em seguida transforme o elipsóide em uma esfera usando a substituição u=\frac{X}{2}, v=\frac{Y}{3}, w=Z e, por último, transforme a esfera em um paralelepípedo, usando coordenadas esféricas.
R. A translação sugerida leva o elipsóide \mathcal{E} para a origem e não interfere no elemento de volume, ou seja d V=d x d y d z=d X d Y d Z. A equação no sistema transladado é
E:\left(\frac{X}{2}\right)^{2}+\left(\frac{Y}{3}\right)^{2}+Z^{2} \leq 1
A substituição u=\frac{X}{2}, v=\frac{Y}{3}, w=Z transforma o elipsóide E na esfera
\mathcal{E}^{\prime}: u^{2}+v^{2}+w^{2} \leq 1
e d V=d x d y d z=d X d Y d Z=6 d u d v d w. Usando coordenadadas esféricas no sistema uvw temos
\begin{aligned} u & =\rho \operatorname{sen} \varphi \cos \theta \\\ v & =\rho \operatorname{sen} \varphi \operatorname{sen} \theta \quad \operatorname{com} d u d v d w=\rho^{2} \operatorname{sen} \varphi d \rho d \theta d \varphi \\\ w & =\rho \cos \varphi \end{aligned}
que transforma a esfera \mathcal{E}^{\prime} no paralelepípedo
\begin{aligned} & 0 \leq \rho \leq 1 \\\ \mathcal{P}: & 0 \leq \theta \leq 2 \pi \\\ & 0 \leq \varphi \leq \pi \end{aligned}
\begin{aligned} \iiint_{\mathcal{E}} z d V & =\iiint_{E}(Z+1) d V=\iiint_{\mathcal{E}^{\prime}}(w+1) 6 d u d v d w=6 \iiint_{\mathcal{P}}(\rho \cos \varphi+1) \rho^{2} \operatorname{sen} \varphi d \rho d \theta d \varphi \\\ & =6 \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1}\left(\rho^{3} \cos \varphi \operatorname{sen} \varphi+\rho^{2} \operatorname{sen} \varphi\right) d \rho d \theta d \varphi \\\ & =6 \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2 \pi}\left(\frac{\rho^{4}}{4} \cos \varphi \operatorname{sen} \varphi+\frac{\rho^{3}}{3} \operatorname{sen} \varphi\right)_{0}^{1} d \theta d \varphi \\\ & =\left.6 \int_{0}^{\pi}\left(\frac{1}{4} \cos \varphi \operatorname{sen} \varphi+\frac{1}{3} \operatorname{sen} \varphi\right) \theta\right|_{0} ^{2 \pi} d \varphi \\\ & =12 \pi\left(\frac{1}{4} \frac{\operatorname{sen}^{2} \varphi}{2}-\frac{1}{3} \cos \varphi\right)_{0}^{\pi}=-4 \pi(\cos \pi-\cos 0) \\\ & =8 \pi \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede
\iiint_{\mathcal{E}} z\,dV
onde \mathcal{E} é o elipsóide
\frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(y-1)^{2}}{9}+(z-1)^{2}\le1.
O conteúdo envolve mudança de variáveis: primeiro translação, depois escala para obter uma esfera unitária e, por fim, coordenadas esféricas para avaliar o integral.

Passo 2

Fazendo a translação para o centro em (1,1,1):
X = x-1,\quad Y = y-1,\quad Z = z-1.
Nesse novo sistema z = Z+1 e a região vira
E:\;\frac{X^{2}}{4}+\frac{Y^{2}}{9}+Z^{2}\le1.
Como a translação não altera o elemento de volume,
dV = dx\,dy\,dz = dX\,dY\,dZ.

Passo 3

Escalando para transformar o elipsóide em esfera unitária, defina
u = \frac{X}{2},\quad v = \frac{Y}{3},\quad w = Z.
Então u^2+v^2+w^2\le1 e o Jacobiano é
\Bigl|\frac{\partial(X,Y,Z)}{\partial(u,v,w)}\Bigr| = 6.
Logo
\iiint_{\mathcal{E}} z\,dV =\iiint_{E}(Z+1)\,dV =6\iiint_{u^2+v^2+w^2\le1}(w+1)\,du\,dv\,dw.

Passo 4

Em coordenadas esféricas no espaço (u,v,w):
u=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad v=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad w=\rho\cos\varphi,
du\,dv\,dw = \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta,
com 0\le\rho\le1, 0\le\theta\le2\pi, 0\le\varphi\le\pi. Assim o integral fica
6\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{1} (\rho\cos\varphi+1)\,\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Compute primeiro em \rho:
\int_{0}^{1}(\rho^{3}\cos\varphi\sin\varphi+\rho^{2}\sin\varphi)\,d\rho =\frac{1}{4}\cos\varphi\sin\varphi+\frac{1}{3}\sin\varphi.
O termo com \cos\varphi\sin\varphi anula ao integrar em \varphi de 0 a \pi, e \int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi=2. Então
6\cdot2\pi\cdot\frac{1}{3}\cdot2 =8\pi.

Resposta

8\pi

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