Calcule as seguintes integrais impróprias
e) integral3^+infty 4 e^-2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria: . Esse exercício é de cálculo, mais especificamente de integrais impróprias. A gente vai precisar usar conceitos de limites e integrar funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. Quando o limite de integração vai até o infinito, a gente utiliza um limite para calcular a área. Então, reescrevemos a integral como um limite:
integral3^+infty 4 e^-2 x , dx = limb to +infty integral3^b 4 e^-2 x , dx

Passo 3

Agora, vamos integrar a função integral 4 e^-2 x , dx = 4 cdot ( 1-2 e^-2 x ) = -2 e^-2 x + C . Sabemos que a integral de em relação a é . Aqui, , então:

Passo 4

Vamos aplicar os limites de integração de 3 até integral3^b 4 e^-2 x , dx = [ -2 e^-2 x ]3^b = -2 e^-2 b - (-2 e^-6) = -2 e^-2 b + 2 e^-6 :

Passo 5

Agora, aplicamos o limite quando limb to +infty (-2 e^-2 b + 2 e^-6) = limb to +infty (-2 e^-2 b) + 2 e^-6 tende ao infinito:
-2 e^-2 b to 0
Sabemos que 0 + 2 e^-6 = 2 e^-6 tende a 0 quando vai para o infinito, então:
Então, a expressão fica:

Resposta

O valor da integral é .

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