Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados.
h) x = x^2, x = 1; ao redor de x = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume do sólido que resulta da rotação da região limitada pelas curvas e em torno do eixo . Vamos usar o método dos cilindros para calcular esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os limites de integração. As curvas e se interceptam quando . Resolvendo essa equação:
Então, nosso intervalo de integração é de até .

Passo 3

Como estamos girando em torno de , que é uma linha vertical, o método doscilíndros é adequado. A fórmula para o volume usando cilindros é:
Onde:
  • é a distância do elemento até o eixo de rotação.
  • é a altura do cilindro, que neste caso é a diferença entre as funções que limitam a região.

Passo 4

Vamos determinar e :
  • Distância : Como estamos girando em torno de , e nosso elemento está em , a distância é .
  • Altura : Entre e , a função superior é e a inferior é . Então, a altura é .

Passo 5

Substituindo na fórmula do volume:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
Como estamos calculando o volume entre 0 e 1, vamos avaliar a integral definida:

Passo 8

Vamos calcular essa expressão:

Passo 9

Finalmente, multiplicamos pelo :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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