Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados.
h)
; ao redor de
.
h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume do sólido que resulta da rotação da região limitada pelas curvas
e
em torno do eixo
. Vamos usar o método dos cilindros para calcular esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os limites de integração. As curvas
e
se interceptam quando
. Resolvendo essa equação:
Então, nosso intervalo de integração é de
até
.
Passo 3
Como estamos girando em torno de
, que é uma linha vertical, o método doscilíndros é adequado. A fórmula para o volume usando cilindros é:
Onde:
-
é a distância do elemento até o eixo de rotação. -
é a altura do cilindro, que neste caso é a diferença entre as funções que limitam a região.
Passo 4
Vamos determinar
e
:
-
Distância
: Como estamos girando em torno de , e nosso elemento está em , a distância é . -
Altura
: Entre e , a função superior é e a inferior é . Então, a altura é .
Passo 5
Substituindo na fórmula do volume:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Como estamos calculando o volume entre 0 e 1, vamos avaliar a integral definida:
Passo 8
Vamos calcular essa expressão:
Passo 9
Finalmente, multiplicamos pelo
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.