circ Verifique que partial^2 f(x, y)partial x partial y=partial^2 f(x, y)partial y partial x se
b) f(x, y)=x y^2+x^2 y^3+x^3 y^4.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma função . A questão pede para verificarmos se as segundas derivadas parciais mistas são iguais, ou seja, se . Para fazer isso, vamos calcular cada uma dessas derivadas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de partial fpartial x = y^2 + 2x y^3 + 3x^2 y^4 em relação a , que é . Isso significa que tratamos como uma constante e derivamos em relação a .
A derivada de em relação a é .
A derivada de em relação a é .
A derivada de em relação a é .
Então,

Passo 3

Agora, vamos derivar partial^2 fpartial y partial x = 2y + 6x y^2 + 12x^2 y^3 em relação a para encontrar . Aqui, tratamos como constante.
A derivada de em relação a é .
A derivada de em relação a é .
A derivada de em relação a é .
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de partial fpartial y = 2x y + 3x^2 y^2 + 4x^3 y^3 em relação a , que é . Aqui, tratamos como uma constante.
A derivada de em relação a é .
A derivada de em relação a é .
A derivada de em relação a é .
Então,

Passo 5

Em seguida, vamos derivar partial^2 fpartial x partial y = 2y + 6x y^2 + 12x^2 y^3 em relação a para encontrar . Aqui, tratamos como constante.
A derivada de em relação a é .
A derivada de em relação a é .
A derivada de em relação a é .
Então,

Resposta

Como podemos ver, e . Portanto, as segundas derivadas parciais mistas são iguais, confirmando que .

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