Verifique que
se
b)
.
b)
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma função
. A questão pede para verificarmos se as segundas derivadas parciais mistas são iguais, ou seja, se
. Para fazer isso, vamos calcular cada uma dessas derivadas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
, que é
. Isso significa que tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
.
A derivada de
em relação a
é
.
A derivada de
em relação a
é
.
A derivada de
em relação a
é
.
Então,
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
. Aqui, tratamos
como constante.
A derivada de
em relação a
é
.
A derivada de
em relação a
é
.
A derivada de
em relação a
é
.
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
, que é
. Aqui, tratamos
como uma constante.
A derivada de
em relação a
é
.
A derivada de
em relação a
é
.
A derivada de
em relação a
é
.
Então,
Passo 5
Em seguida, vamos derivar
em relação a
para encontrar
. Aqui, tratamos
como constante.
A derivada de
em relação a
é
.
A derivada de
em relação a
é
.
A derivada de
em relação a
é
.
Então,
Resposta
Como podemos ver,
e
. Portanto, as segundas derivadas parciais mistas são iguais, confirmando que
.