Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral(2 e^x-sin xcos ^2 x+2x^3) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
integrall(2e^x-sin xcos^2x+2x^3r),dx
Para resolver, vamos usar a linearidade de integrais, a substituição em trigonometria e a regra da potência para integrais de x^n.

Passo 2

Separamos em três integrais mais simples, usando
integrall(f+g+hr),dx=integral f,dx+integral g,dx+integral h,dx
Então
integrall(2e^x-sin xcos^2x+2x^3r),dx =integral 2e^x,dx;-;integralsin xcos^2x,dx;+;integral2x^3,dx

Passo 3

Calculamos
integral 2e^x,dx =2integral e^x,dx =2e^x

Passo 4

Para
integralsin xcos^2x,dx, note que se fizermos u=cos x então du=-sin x,dx. Daí
integralsin xcos^2x,dx =-integralduu^2 =-l(-tfrac1ur) =1u =sec x
Como na integral original há sinal menos, temos
-integralsin xcos^2x,dx=-sec x

Passo 5

Para
integral2x^3,dx, escrevemos 2x^-3 e aplicamos regra da potência:
integral2x^-3,dx =2cdotx^-2-2 =-x^-2 =-1x^2

Passo 6

Somando os três resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos
2e^x-sec x-1x^2+C

Resposta

integrall(2e^x-sin xcos^2x+2x^3r),dx =2e^x-sec x-1x^2+C

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