Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
sumn=1^infty (-1)^n x^2 n-1(2 n-1)!

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sumn=1^infty (-1)^n,x^2n-1(2n-1)!
O conteúdo da matéria aqui é teste da razão (ou critério de d’Alembert) para séries de potências.

Passo 2

Denotemos o termo geral por
an = (-1)^n,x^2n-1(2n-1)!
Aplicamos o teste da razão comparando lvert an+1/anrvert:
lvert an+1anrvert = l|xr|^2(n+1)-1/(2(n+1)-1)!l|xr|^2n-1/(2n-1)! = l|xr|^2n+1(2n+1)!,(2n-1)!l|xr|^2n-1 = l|xr|^2(2n+1)(2n)

Passo 3

Tomando o limite para ntoinfty no fator acima, obtemos
limntoinftylvert xrvert^2(2n+1)(2n) = 0
Como esse limite é 0<1 para todo xinR, a série converge para qualquer valor de x. Logo o raio de convergência é infinito:
R = infty

Passo 4

Como R=infty, o intervalo de convergência é toda a reta real, ou seja
(-infty,infty)

Resposta

Raio de convergência: R=infty.
Intervalo de convergência: (-infty,infty).

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