Dada a função g(x, y)=x cdot(x^2+y^2)^-32 cdot e^sen(x^2 y), use a definição de derivada parcial para obter partial gpartial x(1,0).

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x,y)=x,(x^2+y^2)^-tfrac32;e^sinl(x^2yr)
e pede partial gpartial x(1,0) usando a definição
partial gpartial x(1,0) =limhto0g(1+h,0)-g(1,0)h

Passo 2

Para simplificar, fixamos y=0. Como sin(x^2cdot0)=0 e e^0=1, temos
g(x,0)=x,(x^2)^-tfrac32cdot1 =x;x^-3 =1x^2

Passo 3

Então
g(1+h,0)=1(1+h)^2, g(1,0)=11^2=1

Passo 4

Montamos o quociente de diferença e calculamos o limite:
g(1+h,0)-g(1,0)h =1(1+h)^2-1h =1-(1+h)^2h,(1+h)^2 =-2h-h^2h,(1+h)^2 =-2-h(1+h)^2
Fazendo hto0, o valor tende a -2.

Resposta

partial gpartial x(1,0)=-2

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