Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral tg x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral tan x ,dx
O conteúdo aqui é integração de função trigonométrica, e vamos usar a técnica de substituição para transformar tan x em algo integrável facilmente.

Passo 2

Começamos reescrevendo
tan x = sin xcos x,
logo
integral tan x ,dx = integral sin xcos x,dx

Passo 3

Fazemos a substituição típica para frações com cos x no denominador:
u = cos x Longrightarrow du = -sin x,dx Longrightarrow sin x,dx = -du

Passo 4

Substituindo na integral, obtemos
integral sin xcos x,dx = integral 1u,(-du) = -integral 1u,du
E sabemos que
integral 1u,du = lnl|ur| + C
Portanto
-integral 1u,du = -lnl|ur| + C

Passo 5

Voltando à variável original ,u=cos x, achamos
integral tan x ,dx = -lnl|cos xr| + C
Como nota, usando propriedades de logaritmo, isso equivale a
lnl|sec xr| + C',
onde C' é outra constante arbitrária.

Resposta

-lnl|cos xr| + C

Exercícios relacionados