3- Use o limite lim x-0 a^x-1x=ln a, para calcular L=lim x 2 e^3 x-6-1x-2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um limite para resolver usando uma fórmula que relaciona potências e logaritmos. A questão pede para calcular:
L = limx 2 e^3x - 6 - 1x - 2
A matéria envolvida aqui é limites, especialmente limites que envolvem funções exponenciais. Para resolver isso, vamos usar a fórmula que você mencionou:
limx 0 a^x - 1x = ln a
Vamos precisar aplicar essa fórmula fazendo uma mudança de variável para adaptar o limite dado à forma da fórmula conhecida.

Passo 2

Primeiro, observe que quando x se aproxima de 2, a expressão 3x - 6 se aproxima de 0, porque:
3(2) - 6 = 0
Isso é importante porque na nossa fórmula conhecida, o limite é quando o expoente se aproxima de 0.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos chamar:
u = x - 2
Assim, quando x se aproxima de 2, u se aproxima de 0. Reescrevendo a expressão original em termos de u :
L = limu 0 e^3(u + 2) - 6 - 1u
Simplificando o expoente:
3(u + 2) - 6 = 3u + 6 - 6 = 3u
Então, a expressão fica:
L = limu 0 e^3u - 1u

Passo 4

Agora, comparemos essa expressão com a fórmula conhecida:
limu 0 a^u - 1u = ln a
Aqui, temos a = e^3 , porque:
e^3u = (e^3)^u
Então, aplicando a fórmula:
L = ln(e^3)

Passo 5

Sabemos que ln(e^k) = k , pois o logaritmo natural de e^k é simplesmente k . Portanto:
L = 3

Resposta

O valor do limite L é 3.

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