3- Use o limite
, para calcular
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um limite para resolver usando uma fórmula que relaciona potências e logaritmos. A questão pede para calcular:
A matéria envolvida aqui é limites, especialmente limites que envolvem funções exponenciais. Para resolver isso, vamos usar a fórmula que você mencionou:
Vamos precisar aplicar essa fórmula fazendo uma mudança de variável para adaptar o limite dado à forma da fórmula conhecida.
Passo 2
Primeiro, observe que quando
se aproxima de 2, a expressão
se aproxima de 0, porque:
Isso é importante porque na nossa fórmula conhecida, o limite é quando o expoente se aproxima de 0.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos chamar:
Assim, quando
se aproxima de 2,
se aproxima de 0. Reescrevendo a expressão original em termos de
:
Simplificando o expoente:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Agora, comparemos essa expressão com a fórmula conhecida:
Aqui, temos
, porque:
Então, aplicando a fórmula:
Passo 5
Sabemos que
, pois o logaritmo natural de
é simplesmente
. Portanto:
Resposta
O valor do limite
é 3.