Com relação ao problema de valor inicial d yd x=raiz-y^2+1+raiz1-x, y(x0)=y0; qual das alternativas representa todos os pontos (x0, y0) para os quais podemos garantir que temos uma única solução? nenhuma das demais alternativas.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
dydx = f(x,y) = raiz1 - y^2 + raiz1 - x, y(x0)=y0
e pergunta para quais pontos (x0,y0) podemos garantir existência e unicidade de solução. O conteúdo é o Teorema de Picard–Lindelöf, que exige f contínua em uma vizinhança de (x0,y0) e Lipschitz em y.

Passo 2

Para que f(x,y) seja bem definida, precisamos de
1 - y^2 >= 0 e 1 - x >= 0
Isto impõe
-1 <= y <= 1 e x <= 1

Passo 3

Verificamos a continuidade de f em um retângulo aberto que contenha (x0,y0). Como raiz1 - y^2 e raiz1 - x são contínuas para -1<y<1 e x<1, segue que f é contínua em qualquer ponto com
x0 < 1, -1 < y0 < 1

Passo 4

O Teorema de Picard exige também que partial f/partial y seja contínua (ou ao menos limitada) em relação a y. Calculamos
partial fpartial y = ddyl(raiz1-y^2r) = -yraiz1-y^2
Esse derivado é bem definido e contínuo exatamente quando -1<y<1.

Passo 5

Concluímos que em qualquer ponto (x0,y0) com
x0<1 e -1<y0<1
a função f satisfaz as hipóteses de existência e unicidade do Teorema de Picard–Lindelöf.

Resposta

A única região em que podemos garantir solução única é
(x0,y0)mid x0<1,,-1<y0<1

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