Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral x^2 sen(4 x) d x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que precisamos resolver. O exercício pede para calcular a integral indefinida de x^2 sin(4x) em relação a x . Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Nesse caso, precisamos escolher qual parte da função será u e qual será dv . Uma boa estratégia é escolher u como a função que simplifica quando derivada e dv como a função que é fácil de integrar.

Passo 3

Vamos definir:
u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx
dv = sin(4x) , dx Rightarrow v = -14 cos(4x)
Aqui, integramos sin(4x) para encontrar v .

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^2 sin(4x) , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= x^2 ( -14 cos(4x) ) - integral ( -14 cos(4x) ) 2x , dx
Simplificando:
= -14 x^2 cos(4x) + 12 integral x cos(4x) , dx

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral integral x cos(4x) , dx . Vamos usar novamente a integração por partes. Definimos:
u = x Rightarrow du = dx
dv = cos(4x) , dx Rightarrow v = 14 sin(4x)

Passo 6

Aplicando a integração por partes dessa vez:
integral x cos(4x) , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores:
= x cdot 14 sin(4x) - integral 14 sin(4x) , dx
Simplificando:
= 14 x sin(4x) - 116 cos(4x)

Passo 7

Voltando à expressão que tínhamos antes:
-14 x^2 cos(4x) + 12 ( 14 x sin(4x) - 116 cos(4x) ) + C
Simplificando tudo:
= -14 x^2 cos(4x) + 18 x sin(4x) - 132 cos(4x) + C

Resposta

A integral indefinida de x^2 sin(4x) , dx é:
-14 x^2 cos(4x) + 18 x sin(4x) - 132 cos(4x) + C

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