Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que precisamos resolver. O exercício pede para calcular a integral indefinida de
em relação a
. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando temos o produto de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes:
Nesse caso, precisamos escolher qual parte da função será
e qual será
. Uma boa estratégia é escolher
como a função que simplifica quando derivada e
como a função que é fácil de integrar.
Passo 3
Vamos definir:
Aqui, integramos
para encontrar
.
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a integral
. Vamos usar novamente a integração por partes. Definimos:
Passo 6
Aplicando a integração por partes dessa vez:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 7
Voltando à expressão que tínhamos antes:
Simplificando tudo:
Resposta
A integral indefinida de
é: