Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral ln (x^9) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem para resolver a integral indefinida de ln(x^9) em relação a x. Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e técnicas de integração, como a integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo usando uma propriedade básica dos logaritmos: ln(a^b) = b cdot ln(a). No nosso caso, temos ln(x^9), então podemos reescrever isso como:
ln(x^9) = 9 cdot ln(x)
Agora, a integral fica:
integral ln(x^9) , dx = integral 9 cdot ln(x) , dx = 9 integral ln(x) , dx

Passo 3

Agora, precisamos resolver a integral integral ln(x) , dx. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Vamos escolher:
  • u = ln(x), então du = 1x , dx
  • dv = dx, então v = x

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral ln(x) , dx = u cdot v - integral v , du = ln(x) cdot x - integral x cdot 1x , dx
Simplificando a integral restante:
ln(x) cdot x - integral 1 , dx = x ln(x) - x + C
onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral de ln(x^9) em relação a x é:
integral ln(x^9) , dx = 9x ln(x) - 9x + C

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