Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral cos (ln raizx) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral
integral cosl(lnraizxr),dx
O conteúdo envolvido é integração por substituição seguida de integração de uma exponencial vezes cosseno.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = lnraizx = tfrac12ln x Longrightarrow x = e^2u,
dx = 2e^2u,du

Passo 3

Em função de u a integral passa a ser
integral cosl(lnraizxr),dx = integral cos(u),l(2e^2u,dur) = 2integral e^2ucos(u),du

Passo 4

Para calcular
I = integral e^2ucos(u),du
usamos integração por partes duas vezes. Seja
I = integral e^2ucos(u),du
  1. Primeiro, com w=e^2u, dv=cos u,du I = e^2usin u - integral 2e^2usin u,du
  2. Chame J = integral e^2usin(u),du De novo por partes, com w=e^2u, dv=sin u,du: J = -e^2ucos u + integral 2e^2ucos u,du = -e^2ucos u + 2I
  3. Voltando a I: I = e^2usin u - 2J = e^2usin u - 2l(-e^2ucos u + 2Ir) = e^2usin u +2e^2ucos u -4I
  4. Isolando I: 5I = e^2ul(2cos u + sin ur) Longrightarrow I = e^2u5l(2cos u + sin ur)

Passo 5

Voltando à integral original:
2integral e^2ucos(u),du = 2I = 2e^2u5l(2cos u + sin ur) + C
Como e^2u=x e u=tfrac12ln x, fica
2x5l(2cosl(tfrac12ln xr) +sinl(tfrac12ln xr)r)+C

Resposta

integral cosl(lnraizxr),dx = 2x5l(2cosl(tfrac12ln xr) +sinl(tfrac12ln xr)r) + C

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