Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral e^-x3 cdot sen(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
I = integral e^-tfracx3sen(2x),dx
O conteúdo usado será integração por partes aplicada duas vezes, criando uma equação para I que será resolvida.

Passo 2

Defina
I = integral e^-tfracx3sen(2x),dx e J = integral e^-tfracx3cos(2x),dx
Para calcular I use integração por partes com
u=sen(2x), du=2cos(2x),dx,
dv=e^-tfracx3dx, v=integral e^-tfracx3dx=-3e^-tfracx3.
Isso dá
I =uv-integral v,du =-3e^-tfracx3sen(2x) +6integral e^-tfracx3cos(2x),dx =-3e^-tfracx3sen(2x)+6J

Passo 3

Agora calcule J por partes com
u=cos(2x), du=-2sen(2x),dx,
dv=e^-tfracx3dx, v=-3e^-tfracx3.
Obtemos
J =uv-integral v,du =-3e^-tfracx3cos(2x) -6integral e^-tfracx3sen(2x),dx =-3e^-tfracx3cos(2x)-6I
Substituindo na expressão de I:
I = -3e^-tfracx3sen(2x)+6J =-3e^-tfracx3sen(2x) +6l(-3e^-tfracx3cos(2x)-6Ir) =-3e^-tfracx3sen(2x)-18e^-tfracx3cos(2x)-36I
Rearranjando para isolar I:
I +36I =37I =-3e^-tfracx3sen(2x)-18e^-tfracx3cos(2x),
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I =-3sen(2x)-18cos(2x)37,e^-tfracx3 + C

Resposta

boxed,integral e^-tfracx3sen(2x),dx =-3sen(2x)-18cos(2x)37,e^-tfracx3+C

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