Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral sen(5 x) cdot cos (2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral sen(5x),cos(2x),dx
O conteúdo aqui é o uso de identidades trigonométricas para transformar o produto de senos e cossenos em soma de funções mais fáceis de integrar.

Passo 2

Aplicamos a identidade de produto para soma:
sen(A)cos(B) =tfrac12l[sen(A+B)+sen(A-B)r]
Aqui A=5x e B=2x, então
sen(5x)cos(2x) =tfrac12l[sen(7x)+sen(3x)r]

Passo 3

Substituindo na integral, temos
integral sen(5x)cos(2x),dx =tfrac12integral sen(7x),dx +tfrac12integral sen(3x),dx

Passo 4

Usamos a fórmula de integração de sen(kx):
integral sen(kx),dx =-1kcos(kx)+C
Logo,
tfrac12integral sen(7x),dx =-tfrac12cdottfrac17cos(7x) =-tfrac114cos(7x),
tfrac12integral sen(3x),dx =-tfrac12cdottfrac13cos(3x) =-tfrac16cos(3x)

Passo 5

Somando os resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos
integral sen(5x)cos(2x),dx =-tfrac114cos(7x) -tfrac16cos(3x) + C

Resposta

-114cos(7x) -16cos(3x) + C

Exercícios relacionados