Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral x^3x^4+4 x^2+4 d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral x^3x^4+4x^2+4,dx
O conteúdo aqui é a integração de uma função racional cuja forma sugere fatorar o denominador e usar uma substituição para reduzir a integral a uma soma de frações simples.

Passo 2

Observe que o denominador é um quadrado perfeito:
x^4+4x^2+4 = l(x^2+2r)^2
Logo a integral fica
integral x^3(x^2+2)^2,dx

Passo 3

Fazemos a substituição u = x^2, de modo que du = 2x,dx ou x,dx = tfrac12,du. Note que
x^3,dx = x^2cdot x,dx = ucdot 12,du = u2,du
O denominador em u é (u+2)^2. Assim,
integral x^3(x^2+2)^2,dx = integral tfracu2(u+2)^2,du = 12integral u(u+2)^2,du

Passo 4

Para integrar integral u(u+2)^2,du, fazemos a “divisão”:
u(u+2)^2 = u+2 - 2(u+2)^2 = u+2(u+2)^2 - 2(u+2)^2 = 1u+2 - 2(u+2)^2
Então
12integral u(u+2)^2,du = 12integral 1u+2,du - 12integral 2(u+2)^2,du
Note que tfrac12cdot2=1.

Passo 5

Agora integramos cada termo:
12integral 1u+2,du = 12lnlvert u+2rvert,
integral 1(u+2)^2,du = integral (u+2)^-2,du = -,(u+2)^-1
Portanto
12integral u(u+2)^2,du = 12lnlvert u+2rvert + 1u+2 + C
Voltando a u=x^2, obtemos
integral x^3x^4+4x^2+4,dx = 12lnl(x^2+2r) + 1x^2+2 + C

Resposta

boxedintegral x^3x^4+4x^2+4,dx = 12lnl(x^2+2r) + 1x^2+2 + C

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