Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral x^2raizx^2-1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x^2raizx^2-1,dx
O conteúdo principal é integração de funções que envolvem raiz do tipo raizx^2-a^2. Para resolver essa integral de forma simples, vamos usar uma manipulação algébrica que separa o numerador em duas partes cujas primitivas conhecemos: uma com raizx^2-1 e outra com 1/raizx^2-1.

Passo 2

Observe que
x^2 = (x^2-1) + 1
Logo,
x^2raizx^2-1 = x^2-1raizx^2-1 + 1raizx^2-1 = raizx^2-1 + 1raizx^2-1
Portanto a integral se divide em duas:
integral x^2raizx^2-1,dx = integral raizx^2-1,dx + integral 1raizx^2-1,dx

Passo 3

Vamos calcular primeiro
integral raizx^2-1,dx.
Usando a fórmula padrão para a=1:
integral raizx^2-a^2,dx = x2raizx^2-a^2 - a^22lnl|x+raizx^2-a^2r| + C
Substituindo a=1, obtemos
integral raizx^2-1,dx = x2raizx^2-1 - 12lnl|x+raizx^2-1r| + C1

Passo 4

Agora calculamos
integral 1raizx^2-1,dx.
É conhecida a primitiva
integral 1raizx^2-1,dx = lnl|x+raizx^2-1r| + C2

Passo 5

Somando os dois resultados e agrupando as constantes ( C=C1+C2), temos
integral x^2raizx^2-1,dx = gl(x2raizx^2-1 - 12lnl|x+raizx^2-1r|gr) + lnl|x+raizx^2-1r| + C
Note que
- tfrac12lnl|x+raizx^2-1r| + lnl|x+raizx^2-1r| = tfrac12lnl|x+raizx^2-1r|
Logo
integral x^2raizx^2-1,dx = x2raizx^2-1 + 12lnl|x+raizx^2-1r| + C

Resposta

boxed integral x^2raizx^2-1,dx = x2raizx^2-1 + 12lnl|x+raizx^2-1r| + C

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