Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral 1x^4 raizx^2-3 d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral 1x^4raizx^2-3,dx
O conteúdo principal aqui é usar uma substituição trigonométrica do tipo x=raiz3sectheta, para simplificar o radical raizx^2-3.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = raiz3,sectheta, dx = raiz3,secthetatantheta,dtheta,
e observamos que para x>raiz3 temos
raizx^2-3 = raiz3sec^2theta-3 = raiz3,tantheta
Substituindo em 1x^4raizx^2-3,dx obtemos
1(raiz3sectheta)^4,raiz3,tantheta;l(raiz3secthetatantheta,dthetar) =19integralsecthetatanthetasec^4thetatantheta,dtheta =19integral1sec^3theta,dtheta =19integralcos^3theta,dtheta

Passo 3

Para calcular integralcos^3theta,dtheta, escrevemos
cos^3theta = cos^2thetacdotcostheta = (1-sin^2theta)costheta
e fazemos u=sintheta, du=costheta,dtheta. Assim
integralcos^3theta,dtheta =integral(1-u^2),du =u-u^33+C =sintheta-sin^3theta3+C
Multiplicando por tfrac19 fica
19l(sintheta-sin^3theta3r)+C =19sintheta-127sin^3theta+C

Passo 4

Voltemos à variável x. Da substituição x=raiz3sectheta segue
sintheta =tanthetasectheta =raizsec^2theta-1sectheta =raiztfracx^23-1tfracxraiz3 =raizx^2-3x
Logo
sin^3theta =(raizx^2-3)^3x^3 =(x^2-3)^3/2x^3

Passo 5

Substituindo em
19sintheta-127sin^3theta e simplificando, obtemos
19,raizx^2-3x -127,(x^2-3)^3/2x^3 =3x^2raizx^2-3-(x^2-3)^3/227x^3 =(2x^2+3)raizx^2-327,x^3

Resposta

integral 1x^4raizx^2-3,dx =(2x^2+3)raizx^2-327,x^3+C

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