Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral d xraizx^2+6 x+5 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \ $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 6x + 5}}$. O conteúdo envolvido é a integração de uma função com raiz de um polinômio quadrático: integral dxraizx^2 + 6x + 5. Para resolver, vamos completar o quadrado e usar a fórmula padrão de $\displaystyle \int \frac{du}{\sqrt{u^2 - a^2}}$.

Passo 2

Primeiro, completamos o quadrado no radicando:
x^2 + 6x + 5 = (x + 3)^2 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4

Passo 3

Fazemos a substituição u = x + 3. Então du = dx e o radicando vira u^2 - 2^2. A integral se transforma em:
integral dxraizx^2 + 6x + 5 = integral duraizu^2 - 2^2

Passo 4

Usamos a fórmula padrão para a>0:
integral duraizu^2 - a^2 = lnl|u + raizu^2 - a^2r| + C,
com a = 2. Voltando à variável original x, temos u = x + 3 e u^2 - 2^2 = (x + 3)^2 - 4 = x^2 + 6x + 5. Então a primitiva é:
lnl|x + 3 + raizx^2 + 6x + 5r| + C

Resposta

lnl|x + 3 + raizx^2 + 6x + 5r| + C

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