Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral 1raiz25-6 x-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 1raiz25-6x-x^2,dx
Para isso, vamos usar a técnica de completar o quadrado no radicando e depois aplicar a forma padrão
integral duraiza^2-u^2=arcsin!l(uar)+C

Passo 2

No radicando temos 25-6x-x^2. Vamos reescrevê-lo completando o quadrado:
25-6x-x^2 =-l(x^2+6x-25r) =-l(x^2+6x+9-34r) =34-(x+3)^2

Passo 3

Definimos a mudança de variável t=x+3, de modo que dt=dx. Então
integral 1raiz25-6x-x^2,dx =integral dtraiz34-t^2
Fatorando raiz34,
integral dtraiz34,raiz1-t^234 =1raiz34integral dtraiz1-l(traiz34r)^2
Em seguida, fazemos u=traiz34, logo du=dtraiz34, e a integral fica
integral duraiz1-u^2

Passo 4

Usando a forma padrão
integral duraiz1-u^2 =arcsin(u)+C,
voltamos às variáveis originais:
u=x+3raiz34
Portanto
integral 1raiz25-6x-x^2,dx =arcsin!l(x+3raiz34r)+C

Resposta

arcsin!l(x+3raiz34r)+C

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