Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral sec ^2 xraiz(4-tg^2 x)^3 d x

Passo 1

Nesse exercício queremos calcular a integral integral sec^2 xraiz(4-tan^2 x)^3,dx. O conteúdo envolvido é uma substituição que leva a uma integral do tipo integral du(a^2-u^2)^3/2, seguida de uma substituição trigonométrica.

Passo 2

Fazendo a substituição u=tan x temos du=sec^2 x,dx. Assim a integral original vira
integral sec^2 xraiz(4-tan^2 x)^3,dx = integral du(4-u^2)^3/2

Passo 3

Para resolver integral du(4-u^2)^3/2 usamos a substituição trigonométrica u=2sintheta. Então:
du=2costheta,dtheta,
4-u^2=4-4sin^2theta=4cos^2theta,
(4-u^2)^3/2=(4cos^2theta)^3/2=8cos^3theta
Logo,
integral du(4-u^2)^3/2 = integral 2costheta,dtheta8cos^3theta = 14integral sec^2theta,dtheta = 14tantheta + C

Passo 4

Voltando a x: de u=2sintheta segue sintheta=tfracu2, então
tantheta=sinthetacostheta =u/2raiz1-sin^2theta =uraiz4-u^2
Como u=tan x, obtemos
14tantheta =tan x4raiz4-tan^2 x + C

Resposta

tan x4raiz4-tan^2 x + C

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