Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral 1x(x^2+1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 1x,(x^2+1)^2,dx
Para resolver isso, vamos usar decomposição em frações parciais, pois se trata de uma função racional cuja forma é adequada para esse método.

Passo 2

Suponha a decomposição
1x,(x^2+1)^2 = Ax + B,x + Cx^2+1 + D,x + E(x^2+1)^2
Multiplicando ambos os lados por x,(x^2+1)^2 e igualando coeficientes, obtemos um sistema para A,B,C,D,E.

Passo 3

Após multiplicar e agrupar termos em potências de x, o sistema fica
A + B = 0, C = 0, 2A + B + D = 0, C + E = 0, A = 1
Resolvendo, encontra-se
A = 1, B = -1, C = 0, D = -1, E = 0
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1x,(x^2+1)^2 = 1x - xx^2+1 - x(x^2+1)^2

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral 1x,dx = lnlvert xrvert,
integral xx^2+1,dx = 12lnl(x^2+1r) (com u=x^2+1,;du=2x,dx),
integral x(x^2+1)^2,dx = -12(x^2+1) (mesma substituição u=x^2+1) çã

Passo 5

Reunindo os resultados e lembrando dos sinais, a integral fica
integral 1x,(x^2+1)^2,dx = lnlvert xrvert - 12lnl(x^2+1r) + 12(x^2+1) + C

Resposta

boxed integral 1x,(x^2+1)^2,dx = lnlvert xrvert - tfrac12lnl(x^2+1r) + 12(x^2+1) + C

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