Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
2 d yd t+y=0, y(0)=-3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
2dydt+y=0, y(0)=-3
usando transformada de Laplace. Vamos denotar
Ly(t)=Y(s)
e lembrar que
Ly'(t)=sY(s)-y(0).

Passo 2

Aplicando L em ambos os termos da equação e usando linearidade:
2l(Ly'(t)r)+Ly(t)=0
como Ly'(t)=sY(s)-y(0), isso vira
2l(sY(s)-y(0)r)+Y(s)=0

Passo 3

Substituindo a condição y(0)=-3 e arrumando os termos em Y(s):
2l(sY(s)-(-3)r)+Y(s)=0
2l(sY(s)+3r)+Y(s)=0
(2s+1),Y(s)=-6
Y(s)=-62s+1=-3s+tfrac12

Passo 4

Para voltar ao domínio do tempo, usamos
L^-1!ltfrac1s+ar=e^-at.
Como
Y(s)=-3;1s+tfrac12,
temos
y(t)=-3,e^-tfrac12t
Verificamos que y(0)=-3 confere com a condição inicial.

Resposta

y(t)=-3e^-t/2

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