Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral e^-x arctan e^x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral e^-x,arctanl(e^xr),dx
Para resolver, vamos usar a técnica de integração por partes, pois temos um produto de uma função ( arctan(e^x)) que fica mais simples ao derivar e outra ( e^-x) que simplifica ao integrar.

Passo 2

Aplicando integração por partes, tomamos
u = arctanl(e^xr), dv = e^-x,dx
Calculamos du e v:
du = e^x1+e^2x,dx, v = integral e^-x,dx = -e^-x
Pela fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du, obtemos
integral e^-x,arctanl(e^xr),dx = -e^-x,arctanl(e^xr) + integral dx1+e^2x

Passo 3

Vamos calcular a integral remanescente
integral dx1+e^2x
Fazendo a substituição t = e^x, então dt = e^x,dx e dx = dtt, fica
integral dx1+e^2x = integral 11+t^2;dtt = integral dtt,(1+t^2)
Usando frações parciais, escrevemos
1t(1+t^2) = 1t - t1+t^2,
portanto
integral dtt(1+t^2) = integral dtt - integral t,dt1+t^2 = ln|t| - tfrac12lnl(1+t^2r) + C1

Passo 4

Voltando à variável x (sabendo que t=e^x>0), temos
integral dx1+e^2x = ln(e^x) - tfrac12lnl(1+e^2xr) + C1 = x - tfrac12lnl(1+e^2xr) + C1
Substituindo de volta na expressão obtida em

Passo 5

integral e^-x,arctanl(e^xr),dx = -e^-x,arctanl(e^xr) + l(x - tfrac12lnl(1+e^2xr)r) + C,
onde C é a constante de integração geral.

Resposta

integral e^-x,arctanl(e^xr),dx = -e^-x,arctanl(e^xr) + x - tfrac12lnl(1+e^2xr) + C

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