Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y^prime+6 y=e^4 i, y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'(t) + 6,y(t) = e^4t, y(0)=2
usando transformada de Laplace. O conteúdo principal é transformar a EDO em álgebra no domínio de s, resolver para Y(s) e depois aplicar a transformada inversa.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Lembrando que
Ly'(t)(s) = s,Y(s) - y(0), Ly(t)(s)=Y(s), Le^4t(s)=1s-4,
temos
s,Y(s) - 2 + 6,Y(s) = 1s-4
Agrupando termos em Y(s),
Y(s),(s+6) - 2 = 1s-4 Longrightarrow Y(s) = 1s-4 + 2s+6

Passo 3

Fazemos separação em frações simples:
Y(s) = 1(s-4)(s+6) + 2s+6
Para a primeira parcela, escrevemos
1(s-4)(s+6) = As-4 + Bs+6
e obtemos
1 = A(s+6) + B(s-4)
Escolhendo s=4 1 = 10ARightarrow A=tfrac110. Escolhendo s=-6 1=-10BRightarrow B=-tfrac110. Logo
1(s-4)(s+6) = 110,1s-4 - 110,1s+6
Assim
Y(s) = 110,1s-4 - 110,1s+6 + 2s+6 = 110,1s-4 + 1910,1s+6

Passo 4

Agora aplicamos a transformada inversa sabendo que
L^-1!1s-a(t) = e^a t
Logo
y(t) = 110,e^4t + 1910,e^-6t

Resposta

y(t) = 110,e^4t + 1910,e^-6t

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