Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y^prime prime-4 y^prime-6 e^2 t-3 e^-t, y(0)-1, y^prime(0)--1

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por transformada de Laplace, o problema de valor inicial
y''-4y'-6y=-6e^2t-3e^-t, y(0)=1,;y'(0)=-1
Este é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante exponencial. Vamos usar as propriedades
Ly'=sY(s)-y(0) e Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0) para encontrar Y(s)=Ly(t).

Passo 2

Tomo transformada de Laplace em ambos os lados de
y''-4y'-6y=-6e^2t-3e^-t
Usando as condições iniciais y(0)=1, y'(0)=-1 e Le^at=tfrac1s-a, obtemos
l[s^2Y(s)-scdot1-(-1)r] -4l[sY(s)-1r] -6Y(s) =-61s-2-31s+1
Simplificando o lado esquerdo:
(s^2-4s-6),Y(s);+;(-s+1+4);=;-,6s-2-3s+1,
isto é
(s^2-4s-6),Y(s);-;(s-5) =-6s-2-3s+1

Passo 3

Isolando Y(s):
(s^2-4s-6),Y(s) =;s-5;-;6s-2;-;3s+1,
Y(s) =s-5s^2-4s-6 ;-;6(s-2)(s^2-4s-6) ;-;3(s+1)(s^2-4s-6)

Passo 4

Fatoramos o polinômio do denominador:
s^2-4s-6=(s-alpha)(s-beta), alpha=2+raiz10,;beta=2-raiz10
Então fazemos decomposição em frações parciais do tipo
Y(s) =As-2+Bs+1 +Cs-alpha+Ds-beta
Os cálculos dão
A=35, B=3, C=3raiz10-1310, D=-13+3raiz1010

Passo 5

Aplicamos a antitransformada termo a termo, sabendo que
L^-1tfrac1s-a=e^at. Assim
y(t) =35,e^2t +3,e^-t +3raiz10-1310,e^(2+raiz10)t -13+3raiz1010,e^(2-raiz10)t

Resposta

y(t) =35e^2t +3e^-t +3raiz10-1310e^(2+raiz10)t -13+3raiz1010e^(2-raiz10)t

Exercícios relacionados