Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, por transformada de Laplace, o problema de valor inicial
Este é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante exponencial. Vamos usar as propriedades
e
para encontrar
.
Passo 2
Tomo transformada de Laplace em ambos os lados de
Usando as condições iniciais
,
e
, obtemos
Simplificando o lado esquerdo:
isto é
Passo 3
Isolando
:
Passo 4
Fatoramos o polinômio do denominador:
Então fazemos decomposição em frações parciais do tipo
Os cálculos dão
Passo 5
Aplicamos a antitransformada termo a termo, sabendo que
. Assim