Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função a integrar é
. -
é um parâmetro constante (base da exponencial). - Queremos encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que .
Passo 2
Vamos lembrar um fato crucial sobre exponenciais que vamos usar: para uma base positiva
(com
) vale
Explicação passo a passo: escrevemos
. A derivada de
é
vezes a derivada de “algo”. Então
Aqui
é o logaritmo natural da base
. Isso nos dá a ideia de como integrar: a integral de
é algo dividido por
.
Passo 3
A partir da derivada acima obtemos a fórmula de antiderivada
onde
é a constante de integração. Se a função no expoente for uma função
em vez de
, usamos substituição (regra da cadeia invertida). Em geral, se
é diferenciável,
Se não tivermos exatamente o fator
, fazemos uma substituição para ajustar.
Passo 4
Aplicamos substituição na integral dada. Seja
Então
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora usamos a fórmula da antiderivada para base
:
Voltando à variável
e lembrando do fator
, obtemos
Aqui
é a constante de integração (absorvemos constantes que venham da substituição).
Passo 6
Observação útil para a prova: se por acaso
for a base
(número de Euler), então
e a fórmula simplifica para
Mas a resposta geral para base arbitrária
,
, é a do passo anterior.