Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int \epsilon^{3 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\displaystyle \int \epsilon^{3 x}\,d x.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \epsilon^{3 x}.
  • \epsilon é um parâmetro constante (base da exponencial).
  • Queremos encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\epsilon^{3x}.

Passo 2

Vamos lembrar um fato crucial sobre exponenciais que vamos usar: para uma base positiva a (com a\neq 1) vale
\frac{d}{dx}\big(a^{x}\big)=a^{x}\ln a.
Explicação passo a passo: escrevemos a^{x}=e^{x\ln a}. A derivada de e^{\text{algo}} é e^{\text{algo}} vezes a derivada de “algo”. Então
\frac{d}{dx}e^{x\ln a}=e^{x\ln a}\cdot\frac{d}{dx}(x\ln a)=e^{x\ln a}\ln a=a^{x}\ln a.
Aqui \ln a é o logaritmo natural da base a. Isso nos dá a ideia de como integrar: a integral de a^{x} é algo dividido por \ln a.

Passo 3

A partir da derivada acima obtemos a fórmula de antiderivada
\int a^{x}\,dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C,
onde C é a constante de integração. Se a função no expoente for uma função u(x) em vez de x, usamos substituição (regra da cadeia invertida). Em geral, se u(x) é diferenciável,
\int a^{u(x)}u'(x)\,dx=\frac{a^{u(x)}}{\ln a}+C.
Se não tivermos exatamente o fator u'(x), fazemos uma substituição para ajustar.

Passo 4

Aplicamos substituição na integral dada. Seja
t=3x.
Então
dt=3\,dx\quad\Rightarrow\quad dx=\frac{dt}{3}.
Substituindo na integral:
\int \epsilon^{3x}\,dx=\int \epsilon^{t}\cdot\frac{dt}{3}=\frac{1}{3}\int \epsilon^{t}\,dt.

Passo 5

Agora usamos a fórmula da antiderivada para base \epsilon:
\int \epsilon^{t}\,dt=\frac{\epsilon^{t}}{\ln\epsilon}+C.
Voltando à variável x e lembrando do fator \tfrac{1}{3}, obtemos
\int \epsilon^{3x}\,dx=\frac{1}{3}\cdot\frac{\epsilon^{t}}{\ln\epsilon}+C=\frac{\epsilon^{3x}}{3\ln\epsilon}+C.
Aqui C é a constante de integração (absorvemos constantes que venham da substituição).

Passo 6

Observação útil para a prova: se por acaso \epsilon for a base e (número de Euler), então \ln\epsilon=\ln e=1 e a fórmula simplifica para
\int e^{3x}\,dx=\frac{e^{3x}}{3}+C.
Mas a resposta geral para base arbitrária \epsilon>0, \epsilon\neq1, é a do passo anterior.

Resposta

\displaystyle \frac{\epsilon^{3x}}{3\ln\epsilon}+C

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