Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo:
Informações dadas:
Objetivo: encontrar uma função
tal que
. Não vamos resolver nada ainda, só identifiquei o que é pedido.
Passo 2
Estratégia escolhida: usar substituição (trocar a expressão linear interna por uma nova variável). Intuição: vemos uma potência de uma expressão linear
. Isso sugere pôr
porque então o integrando fica simplesmente
, o que é mais fácil de integrar. A substituição é a versão inversa da regra da cadeia para derivadas.
Passo 3
Calcule a diferencial associada à substituição. Diferenciando
em relação a
obtemos
Isolando
,
Passo 4
Substitua
e
na integral original. Temos
Fatorando a constante
para fora da integral:
Passo 5
Agora aplicamos a regra do poder para integrar
. Lembrete da fórmula (e por que vale):
Para ,
Para
Explicação curta do porquê: se definirmos
, então por diferenciação
, logo
é uma primitiva de
.
Aqui
, logo
Passo 6
Voltando para a integral com o fator
:
Passo 7
Retorne à variável original
substituindo
:
Passo 8
Verificação (checagem útil na prova): derive o resultado para confirmar que volta ao integrando. Diferenciando
que é exatamente o integrando. Bingo — está correto.
Passo 9
Observação final e dica prática: de forma geral,
No caso
,
obtemos o mesmo resultado. Se
(ou seja
), usa-se
.