Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int(3 x-2)^{20} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo:
\int (3x-2)^{20}\,dx
Informações dadas:
\text{integrando} = (3x-2)^{20},\qquad \text{variável de integração} = x.áçã
Objetivo: encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=(3x-2)^{20}. Não vamos resolver nada ainda, só identifiquei o que é pedido.

Passo 2

Estratégia escolhida: usar substituição (trocar a expressão linear interna por uma nova variável). Intuição: vemos uma potência de uma expressão linear (3x-2). Isso sugere pôr
u = 3x-2,
porque então o integrando fica simplesmente u^{20}, o que é mais fácil de integrar. A substituição é a versão inversa da regra da cadeia para derivadas.

Passo 3

Calcule a diferencial associada à substituição. Diferenciando u=3x-2 em relação a x obtemos
du = 3\,dx.
Isolando dx,
dx = \frac{du}{3}.

Passo 4

Substitua u e dx na integral original. Temos
\int (3x-2)^{20}\,dx = \int u^{20}\cdot\frac{du}{3}.
Fatorando a constante \tfrac{1}{3} para fora da integral:
\int (3x-2)^{20}\,dx = \frac{1}{3}\int u^{20}\,du.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do poder para integrar u^{20}. Lembrete da fórmula (e por que vale):
Para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Explicação curta do porquê: se definirmos G(u)=\dfrac{u^{n+1}}{n+1}, então por diferenciação G'(u)=\dfrac{n+1}{n+1}u^{n}=u^{n}, logo G é uma primitiva de u^{n}.
Aqui n=20, logo
\int u^{20}\,du = \frac{u^{21}}{21}+C.

Passo 6

Voltando para a integral com o fator \tfrac{1}{3}:
\frac{1}{3}\int u^{20}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{u^{21}}{21}+C = \frac{u^{21}}{63}+C.

Passo 7

Retorne à variável original x substituindo u=3x-2:
\frac{u^{21}}{63}+C = \frac{(3x-2)^{21}}{63}+C.

Passo 8

Verificação (checagem útil na prova): derive o resultado para confirmar que volta ao integrando. Diferenciando
\frac{d}{dx}\left(\frac{(3x-2)^{21}}{63}\right) = \frac{1}{63}\cdot 21(3x-2)^{20}\cdot 3 = \frac{63}{63}(3x-2)^{20} = (3x-2)^{20},
que é exatamente o integrando. Bingo — está correto.

Passo 9

Observação final e dica prática: de forma geral,
\int (ax+b)^{n}\,dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+C\quad (n\neq -1).
No caso a=3, n=20 obtemos o mesmo resultado. Se n=-1 (ou seja \int \frac{1}{ax+b}\,dx), usa-se \frac{1}{a}\ln|ax+b|+C.

Resposta

\dfrac{(3x-2)^{21}}{63}+C

Exercícios relacionados