Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int \sqrt{2 x+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sqrt{2x+1}\,dx.
Informações dadas:
  • A variável de integração é x.
  • A função a integrar é a raiz quadrada de uma expressão linear em x, ou seja \sqrt{2x+1}.
  • Trata-se de integral indefinida, então o resultado deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Estratégia: vamos usar uma substituição para simplificar a raiz em uma potência simples. A ideia da substituição é trocar a expressão interna da raiz por uma nova variável u, de modo que a integral fique no formato \int u^{n}\,du, que sabemos integrar facilmente.
Regra de substituição (explicada): se fizermos u=g(x), então du = g'(x)\,dx. Podemos resolver para dx: dx = \dfrac{du}{g'(x)}. Substituímos g(x) por u e dx por \dfrac{du}{g'(x)}, ficando uma integral em u.
Escolhemos a substituição natural para a expressão interna da raiz:
u = 2x+1.

Passo 3

Calcule du a partir de u=2x+1:
du = 2\,dx \quad\Rightarrow\quad dx = \dfrac{du}{2}.
Reescrevendo a raiz como potência: \sqrt{2x+1} = (2x+1)^{1/2} = u^{1/2}.
Agora substituímos na integral:
\int \sqrt{2x+1}\,dx = \int u^{1/2}\cdot \dfrac{du}{2} = \dfrac{1}{2}\int u^{1/2}\,du.

Passo 4

Aplicamos a regra do poder para integrais (explicada): para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \dfrac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\int u^{1/2}\,du = \dfrac{u^{3/2}}{3/2} + C = \dfrac{2}{3}u^{3/2} + C.
Voltando o fator \tfrac{1}{2} que estava fora da integral:
\dfrac{1}{2}\int u^{1/2}\,du = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{3}u^{3/2} + C = \dfrac{1}{3}u^{3/2} + C.

Passo 5

Retornamos à variável x substituindo u=2x+1:
\int \sqrt{2x+1}\,dx = \dfrac{1}{3}(2x+1)^{3/2} + C.
Verificação rápida (útil na prova): derivando o resultado conseguimos checar se dá a função integranda. Usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\left[\dfrac{1}{3}(2x+1)^{3/2}\right] = \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{3}{2}(2x+1)^{1/2}\cdot 2 = (2x+1)^{1/2},
que é exatamente \sqrt{2x+1}. Está certo!

Passo 6

Dica geral que vale na prova: para integrais do tipo \int \sqrt{ax+b}\,dx (com a\neq 0) a resposta geral é
\int \sqrt{ax+b}\,dx = \dfrac{2}{3a}(ax+b)^{3/2} + C.
No nosso caso a=2 e isso dá \dfrac{2}{3\cdot 2}(2x+1)^{3/2}=\dfrac{1}{3}(2x+1)^{3/2}, que coincide com o resultado acima. Força aí — essa técnica de substituição e a regra do poder resolvem muita integral com raiz.

Resposta

\dfrac{1}{3}(2x+1)^{3/2}+C

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