Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A variável de integração é
. - A função a integrar é a raiz quadrada de uma expressão linear em
, ou seja . - Trata-se de integral indefinida, então o resultado deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Estratégia: vamos usar uma substituição para simplificar a raiz em uma potência simples. A ideia da substituição é trocar a expressão interna da raiz por uma nova variável
, de modo que a integral fique no formato
, que sabemos integrar facilmente.
Regra de substituição (explicada): se fizermos
, então
. Podemos resolver para
:
. Substituímos
por
e
por
, ficando uma integral em
.
Escolhemos a substituição natural para a expressão interna da raiz:
Passo 3
Calcule
a partir de
:
Reescrevendo a raiz como potência:
.
Agora substituímos na integral:
Agora substituímos na integral:
Passo 4
Aplicamos a regra do poder para integrais (explicada): para
,
Aqui
, então
Voltando o fator
que estava fora da integral:
Passo 5
Retornamos à variável
substituindo
:
Verificação rápida (útil na prova): derivando o resultado conseguimos checar se dá a função integranda. Usando a regra da cadeia:
que é exatamente
. Está certo!
Passo 6
Dica geral que vale na prova: para integrais do tipo
(com
) a resposta geral é
No nosso caso
e isso dá
, que coincide com o resultado acima. Força aí — essa técnica de substituição e a regra do poder resolvem muita integral com raiz.