Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int \frac{x}{\sqrt{1-4 x^{2}}} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{x}{\sqrt{1-4 x^{2}}}\,dx.
Informações dadas: é uma integral indefinida (procuramos uma antiderivada) da função \dfrac{x}{\sqrt{1-4x^{2}}}. Não há limites de integração nem outras condições.

Passo 2

Estratégia escolhida (aqui só explico a ideia, sem resolver ainda): quando aparecem expressões do tipo \sqrt{\text{algo}} e dentro desse “algo” há uma função cuja derivada é proporcional a outras partes do integrando, a substituição u=\text{algo} é uma boa jogada. Neste integrando o “algo” é 1-4x^{2} e a sua derivada é proporcional a x, que aparece no numerador — portanto a substituição direta vai simplificar bastante a integral.

Passo 3

Faço a substituição. Defino
u = 1-4x^{2}.
Agora calculo du. Derivando em relação a x,
du = \frac{d}{dx}(1-4x^{2})\,dx = -8x\,dx.
Isolando x\,dx (porque aparece no integrando) temos
x\,dx = -\frac{1}{8}\,du.

Passo 4

Reescrevo a integral original em termos de u. Substituindo \sqrt{1-4x^{2}}=\sqrt{u} e x\,dx=-\dfrac{1}{8}\,du, obtemos
\int \frac{x}{\sqrt{1-4 x^{2}}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}}\left(-\frac{1}{8}\,du\right).
Tirando a constante -\dfrac{1}{8} para fora,
\int \frac{x}{\sqrt{1-4 x^{2}}}\,dx = -\frac{1}{8}\int u^{-\tfrac{1}{2}}\,du.

Passo 5

Agora aplico a regra de potência para integrais. Regra: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=-\tfrac{1}{2}, portanto n+1=\tfrac{1}{2} e
\int u^{-\tfrac{1}{2}}\,du = \frac{u^{\tfrac{1}{2}}}{\tfrac{1}{2}} + C = 2u^{\tfrac{1}{2}} + C.
Multiplicando pela constante -\dfrac{1}{8} temos
-\frac{1}{8}\int u^{-\tfrac{1}{2}}\,du = -\frac{1}{8}\cdot\left(2u^{\tfrac{1}{2}}\right) + C = -\frac{1}{4}u^{\tfrac{1}{2}} + C.

Passo 6

Volto para a variável x substituindo u=1-4x^{2}:
-\frac{1}{4}u^{\tfrac{1}{2}} + C = -\frac{1}{4}\sqrt{1-4x^{2}} + C.
Esse é o resultado da integração.

Passo 7

Verificação rápida (derivação para conferir): calculo a derivada de -\dfrac{1}{4}\sqrt{1-4x^{2}}. Uso a regra da cadeia e que \dfrac{d}{dx}\sqrt{u}=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}. Assim,
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{4}\sqrt{1-4x^{2}}\right) = -\frac{1}{4}\cdot\frac{-8x}{2\sqrt{1-4x^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{1-4x^{2}}},
que é exatamente o integrando original. Portanto a antiderivada está correta.

Resposta

-\dfrac{1}{4}\sqrt{1-4x^{2}}+C

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