Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas: é uma integral indefinida (procuramos uma antiderivada) da função
. Não há limites de integração nem outras condições.
Passo 2
Estratégia escolhida (aqui só explico a ideia, sem resolver ainda): quando aparecem expressões do tipo
e dentro desse “algo” há uma função cuja derivada é proporcional a outras partes do integrando, a substituição
é uma boa jogada. Neste integrando o “algo” é
e a sua derivada é proporcional a
, que aparece no numerador — portanto a substituição direta vai simplificar bastante a integral.
Passo 3
Faço a substituição. Defino
Agora calculo
. Derivando em relação a
,
Isolando
(porque aparece no integrando) temos
Passo 4
Reescrevo a integral original em termos de
. Substituindo
e
, obtemos
Tirando a constante
para fora,
Passo 5
Agora aplico a regra de potência para integrais. Regra: para
,
Aqui
, portanto
e
Multiplicando pela constante
temos
Passo 6
Volto para a variável
substituindo
:
Esse é o resultado da integração.
Passo 7
Verificação rápida (derivação para conferir): calculo a derivada de
. Uso a regra da cadeia e que
. Assim,
que é exatamente o integrando original. Portanto a antiderivada está correta.