Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int \frac{d x}{\left(1-x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{dx}{\bigl(1 - x^{2}\bigr)^{\frac{3}{2}}}
O conteúdo é substituição trigonométrica, pois temos 1 - x^{2} sob raiz.

Passo 2

Fazemos a mudança
x = \sin(t), \quad dx = \cos(t)\,dt, \quad 1 - x^{2} = \cos^{2}(t).

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int \frac{dx}{(1 - x^{2})^{3/2}} = \int \frac{\cos(t)\,dt}{\bigl(\cos^{2}(t)\bigr)^{3/2}} = \int \frac{\cos(t)\,dt}{\cos^{3}(t)} = \int \operatorname{sec}^{2}(t)\,dt = \tan(t) + C.

Passo 4

Volta à variável x: como \sin(t)=x e \cos(t)=\sqrt{1-x^{2}}, temos
\tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} = \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}.

Resposta

\int \frac{dx}{(1 - x^{2})^{3/2}} = \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + C.

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