Considere as séries abaixo, verifique a convergência ou a divergência de cada uma delas:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n-1}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n-1}}.
O conteúdo envolvido é análise de séries numéricas, e vamos aplicar o teste de série geométrica.

Passo 2

Note que
\frac{1}{2^{n-1}} \;=\;\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n-1}.
Logo, podemos ver a série como uma série geométrica do tipo \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a\,r^{\,n-1}
com a=1 e r=\tfrac12.

Passo 3

O critério de convergência para séries geométricas diz que \sum a\,r^{n-1} converge se, e somente se, \lvert r\rvert<1.
Aqui temos \lvert r\rvert = \bigl|\tfrac12\bigr| = \tfrac12 <1.
Portanto, a série converge.

Passo 4

A soma de uma série geométrica convergente é dada por
\sum_{n=1}^{\infty} a\,r^{n-1} \;=\;\frac{a}{1-r}.
Substituindo a=1 e r=\tfrac12, obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n-1}} =\frac{1}{1 - \tfrac12} =\frac{1}{\tfrac12} =2.

Resposta

A série converge e sua soma é 2.

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