Considere as séries abaixo, verifique a convergência ou a divergência de cada uma delas: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n-1}}
Passo 1
O enunciado nos dá a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n-1}}.
O conteúdo envolvido é análise de séries numéricas, e vamos aplicar o teste de série geométrica.
Logo, podemos ver a série como uma série geométrica do tipo \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a\,r^{\,n-1}
com a=1 e r=\tfrac12.
Passo 3
O critério de convergência para séries geométricas diz que \sum a\,r^{n-1} converge se, e somente se, \lvert r\rvert<1.
Aqui temos \lvert r\rvert = \bigl|\tfrac12\bigr| = \tfrac12 <1.
Portanto, a série converge.
Passo 4
A soma de uma série geométrica convergente é dada por