Em uma classe com 35 estudantes pesquisou-se sobre os gostos relativos a matematica e literatura, e constatou-se que:
  • 7 homens gostam de matemática;
  • 6 homens gostam de literatura;
  • 5 homens e 8 mulheres não gostam de ambos;
  • há 16 homens na classe
  • 5 estudantes gostam de ambos;
  • 11 estudantes somente matemática.
Quantas mulheres gosta de apenas literatura?

Passo 1

O enunciado trata de uma turma de 35 alunos, com 16 homens e 19 mulheres, e examina quantos gostam de matemática ( M) e de literatura ( L). Os dados são:
7 homens gostam de M.
6 homens gostam de L.
5 homens e 8 mulheres não gostam de nenhum dos dois (nem M nem L).
5 estudantes gostam de ambos ( M\cap L).
11 estudantes gostam somente de M (ou seja, M\setminus L).
Pergunta: quantas mulheres gostam de apenas literatura ( L\setminus M)? Vamos usar teoria de conjuntos e o diagrama de Venn.

Passo 2

Primeiro, contagem dos que gostam de pelo menos um dos dois:
|M\cup L| = 35 - (5+8) = 35 - 13 = 22.
Pela fórmula da união,
|M\cup L| = |M| + |L| - |M\cap L|,
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|M| + |L| - 5 = 22 \quad\Longrightarrow\quad |M| + |L| = 27.

Passo 3

Sabemos que
|M| = |M\setminus L| + |M\cap L| = 11 + 5 = 16.
Substituindo em |M| + |L| = 27, vem
|L| = 27 - 16 = 11.
Portanto, 11 alunos gostam de literatura.

Passo 4

Agora distribuímos esses gostos entre os homens. Seja x o número de homens que gostam de ambos. Então entre os 16 homens temos:
– homens que gostam só de M: 7 - x,
– homens que gostam só de L: 6 - x,
– homens que gostam de ambos: x,
– homens que não gostam de nenhum: 5.
A soma deve dar 16:
(7 - x) + (6 - x) + x + 5 = 16 \quad\Longrightarrow\quad 18 - x = 16 \quad\Longrightarrow\quad x = 2.
Logo, 2 homens gostam de ambos, 7 - 2 = 5 gostam só de M e 6 - 2 = 4 gostam só de L.

Passo 5

Do total de 11 que gostam de literatura, 6 são homens ( 6 - x = 4 só de L e x=2 de ambos)), restam
11 - 6 = 5
mulheres que gostam de L. Dessas, x_{\text{mulheres em }M\cap L}=5 - 2 = 3 (pois 2 homens dos 5 do total de ambos), ou, de outro modo, sabemos que do total de 5 que gostam de ambos, 2 são homens e 3 são mulheres. Portanto, o número de mulheres que gostam somente de literatura é
5 - 3 = 2.

Resposta

2

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